Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4077 / 2859
↖ ↑ ↗
← N 47.665387°
W  0.834961°		 ← 3 290.85 m → N 47.665387°
W  0.791016°		 →
↑
3 291.77 m
↓
↑
3 291.77 m
↓
N 47.635784°
W  0.834961°		 ← 3 292.72 m →
10 835 800 m²		 N 47.635784°
W  0.791016°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4077 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2859 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.49774169921875 y=0.34906005859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.49774169921875 × 213)
    floor (0.49774169921875 × 8192)
    floor (4077.5)     		tx = 4077
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.34906005859375 × 213)
    floor (0.34906005859375 × 8192)
    floor (2859.5)     		ty = 2859
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4077 / 2859 ti = "13/4077/2859"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4077/2859.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4077 ÷ 213
    4077 ÷ 8192     		x = 0.4976806640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2859 ÷ 213
    2859 ÷ 8192     		y = 0.3489990234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4976806640625 × 2 - 1) × π
    -0.004638671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.01457282
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3489990234375 × 2 - 1) × π
    0.302001953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.948767117280151
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01457282} λ = -0.01457282}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.948767117280151))-π/2
    2×atan(2.58252374689007)-π/2
    2×1.2013571376915-π/2
    2.40271427538301-1.57079632675     		φ = 0.83191795
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01457282} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.834961°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83191795 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.665387°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4077 KachelY 2859 -0.01457282 0.83191795 -0.834961 47.665387
    Oben rechts KachelX + 1 4078 KachelY 2859 -0.01380583 0.83191795 -0.791016 47.665387
    Unten links KachelX 4077 KachelY + 1 2860 -0.01457282 0.83140127 -0.834961 47.635784
    Unten rechts KachelX + 1 4078 KachelY + 1 2860 -0.01380583 0.83140127 -0.791016 47.635784
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83191795-0.83140127) × R
    0.000516680000000047 × 6371000     		dl = 3291.7682800003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83191795-0.83140127) × R
    0.000516680000000047 × 6371000     		dr = 3291.7682800003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01457282--0.01380583) × cos(0.83191795) × R
    0.00076699 × 0.673459204190033 × 6371000     		do = 3290.85388236334m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01457282--0.01380583) × cos(0.83140127) × R
    0.00076699 × 0.673841056738662 × 6371000     		du = 3292.71980227998m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83191795)-sin(0.83140127))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.673459204190033-0.673841056738662)×R²
    abs(-0.01380583--0.01457282)×0.000381852548628991×R²
    0.00076699×0.000381852548628991×6371000²
    0.00076699×0.000381852548628991×40589641000000     		ar = 10835799.7531354m²