Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4076 / 2858
↖ ↑ ↗
← N 47.694974°
W  0.878906°		 ← 3 288.99 m → N 47.694974°
W  0.834961°		 →
↑
3 289.92 m
↓
↑
3 289.92 m
↓
N 47.665387°
W  0.878906°		 ← 3 290.85 m →
10 823 579 m²		 N 47.665387°
W  0.834961°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4076 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2858 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.49761962890625 y=0.34893798828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.49761962890625 × 213)
    floor (0.49761962890625 × 8192)
    floor (4076.5)     		tx = 4076
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.34893798828125 × 213)
    floor (0.34893798828125 × 8192)
    floor (2858.5)     		ty = 2858
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4076 / 2858 ti = "13/4076/2858"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4076/2858.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4076 ÷ 213
    4076 ÷ 8192     		x = 0.49755859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2858 ÷ 213
    2858 ÷ 8192     		y = 0.348876953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49755859375 × 2 - 1) × π
    -0.0048828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.01533981
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.348876953125 × 2 - 1) × π
    0.30224609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.949534107674072
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01533981} λ = -0.01533981}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.949534107674072))-π/2
    2×atan(2.58450527760638)-π/2
    2×1.20161533284818-π/2
    2.40323066569635-1.57079632675     		φ = 0.83243434
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01533981} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.878906°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83243434 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.694974°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4076 KachelY 2858 -0.01533981 0.83243434 -0.878906 47.694974
    Oben rechts KachelX + 1 4077 KachelY 2858 -0.01457282 0.83243434 -0.834961 47.694974
    Unten links KachelX 4076 KachelY + 1 2859 -0.01533981 0.83191795 -0.878906 47.665387
    Unten rechts KachelX + 1 4077 KachelY + 1 2859 -0.01457282 0.83191795 -0.834961 47.665387
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83243434-0.83191795) × R
    0.000516390000000033 × 6371000     		dl = 3289.92069000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83243434-0.83191795) × R
    0.000516390000000033 × 6371000     		dr = 3289.92069000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01533981--0.01457282) × cos(0.83243434) × R
    0.00076699 × 0.673077386331862 × 6371000     		do = 3288.98813196138m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01533981--0.01457282) × cos(0.83191795) × R
    0.00076699 × 0.673459204190033 × 6371000     		du = 3290.85388236334m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83243434)-sin(0.83191795))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.673077386331862-0.673459204190033)×R²
    abs(-0.01457282--0.01533981)×0.000381817858171152×R²
    0.00076699×0.000381817858171152×6371000²
    0.00076699×0.000381817858171152×40589641000000     		ar = 10823579.4304458m²