Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4075 / 2893
↖ ↑ ↗
← N 46.649436°
W  0.922852°		 ← 3 354.38 m → N 46.649436°
W  0.878906°		 →
↑
3 355.35 m
↓
↑
3 355.35 m
↓
N 46.619261°
W  0.922852°		 ← 3 356.25 m →
11 258 274 m²		 N 46.619261°
W  0.878906°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4075 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2893 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.49749755859375 y=0.35321044921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.49749755859375 × 213)
    floor (0.49749755859375 × 8192)
    floor (4075.5)     		tx = 4075
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.35321044921875 × 213)
    floor (0.35321044921875 × 8192)
    floor (2893.5)     		ty = 2893
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4075 / 2893 ti = "13/4075/2893"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4075/2893.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4075 ÷ 213
    4075 ÷ 8192     		x = 0.4974365234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2893 ÷ 213
    2893 ÷ 8192     		y = 0.3531494140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4974365234375 × 2 - 1) × π
    -0.005126953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.01610680
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3531494140625 × 2 - 1) × π
    0.293701171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.922689443886841
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01610680} λ = -0.01610680}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.922689443886841))-π/2
    2×atan(2.51604806876157)-π/2
    2×1.19249129101308-π/2
    2.38498258202617-1.57079632675     		φ = 0.81418626
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01610680} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.922852°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81418626 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.649436°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4075 KachelY 2893 -0.01610680 0.81418626 -0.922852 46.649436
    Oben rechts KachelX + 1 4076 KachelY 2893 -0.01533981 0.81418626 -0.878906 46.649436
    Unten links KachelX 4075 KachelY + 1 2894 -0.01610680 0.81365960 -0.922852 46.619261
    Unten rechts KachelX + 1 4076 KachelY + 1 2894 -0.01533981 0.81365960 -0.878906 46.619261
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81418626-0.81365960) × R
    0.000526660000000012 × 6371000     		dl = 3355.35086000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81418626-0.81365960) × R
    0.000526660000000012 × 6371000     		dr = 3355.35086000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01610680--0.01533981) × cos(0.81418626) × R
    0.00076699 × 0.686460345738307 × 6371000     		do = 3354.38387330132m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01610680--0.01533981) × cos(0.81365960) × R
    0.00076699 × 0.686843220416776 × 6371000     		du = 3356.25478784857m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81418626)-sin(0.81365960))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.686460345738307-0.686843220416776)×R²
    abs(-0.01533981--0.01610680)×0.000382874678469425×R²
    0.00076699×0.000382874678469425×6371000²
    0.00076699×0.000382874678469425×40589641000000     		ar = 11258273.8616491m²