Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 4075 / 2854
↖ ↑ ↗
← N 47.813154°
W  0.922852°		 ← 3 281.53 m → N 47.813154°
W  0.878906°		 →
↑
3 282.47 m
↓
↑
3 282.47 m
↓
N 47.783634°
W  0.922852°		 ← 3 283.39 m →
10 774 564 m²		 N 47.783634°
W  0.878906°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4075 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2854 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.49749755859375 y=0.34844970703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.49749755859375 × 213)
    floor (0.49749755859375 × 8192)
    floor (4075.5)     		tx = 4075
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.34844970703125 × 213)
    floor (0.34844970703125 × 8192)
    floor (2854.5)     		ty = 2854
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4075 / 2854 ti = "13/4075/2854"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4075/2854.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4075 ÷ 213
    4075 ÷ 8192     		x = 0.4974365234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2854 ÷ 213
    2854 ÷ 8192     		y = 0.348388671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4974365234375 × 2 - 1) × π
    -0.005126953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.01610680
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.348388671875 × 2 - 1) × π
    0.30322265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.952602069249756
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01610680} λ = -0.01610680}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.952602069249756))-π/2
    2×atan(2.59244661612202)-π/2
    2×1.20264664943614-π/2
    2.40529329887227-1.57079632675     		φ = 0.83449697
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01610680} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.922852°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83449697 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.813154°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4075 KachelY 2854 -0.01610680 0.83449697 -0.922852 47.813154
    Oben rechts KachelX + 1 4076 KachelY 2854 -0.01533981 0.83449697 -0.878906 47.813154
    Unten links KachelX 4075 KachelY + 1 2855 -0.01610680 0.83398175 -0.922852 47.783634
    Unten rechts KachelX + 1 4076 KachelY + 1 2855 -0.01533981 0.83398175 -0.878906 47.783634
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83449697-0.83398175) × R
    0.000515220000000038 × 6371000     		dl = 3282.46662000024m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83449697-0.83398175) × R
    0.000515220000000038 × 6371000     		dr = 3282.46662000024m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01610680--0.01533981) × cos(0.83449697) × R
    0.00076699 × 0.671550492111287 × 6371000     		do = 3281.526973598m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01610680--0.01533981) × cos(0.83398175) × R
    0.00076699 × 0.671932159752895 × 6371000     		du = 3283.39198996773m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83449697)-sin(0.83398175))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.671550492111287-0.671932159752895)×R²
    abs(-0.01533981--0.01610680)×0.000381667641608185×R²
    0.00076699×0.000381667641608185×6371000²
    0.00076699×0.000381667641608185×40589641000000     		ar = 10774563.9187987m²