Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4072 / 3010
↖ ↑ ↗
← N 43.004647°
W  1.054688°		 ← 3 573.48 m → N 43.004647°
W  1.010742°		 →
↑
3 574.45 m
↓
↑
3 574.45 m
↓
N 42.972502°
W  1.054688°		 ← 3 575.35 m →
12 776 582 m²		 N 42.972502°
W  1.010742°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4072 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3010 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.49713134765625 y=0.36749267578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.49713134765625 × 213)
    floor (0.49713134765625 × 8192)
    floor (4072.5)     		tx = 4072
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.36749267578125 × 213)
    floor (0.36749267578125 × 8192)
    floor (3010.5)     		ty = 3010
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4072 / 3010 ti = "13/4072/3010"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4072/3010.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4072 ÷ 213
    4072 ÷ 8192     		x = 0.4970703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3010 ÷ 213
    3010 ÷ 8192     		y = 0.367431640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4970703125 × 2 - 1) × π
    -0.005859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.01840777
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.367431640625 × 2 - 1) × π
    0.26513671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.832951567798096
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01840777} λ = -0.01840777}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.832951567798096))-π/2
    2×atan(2.30009762525671)-π/2
    2×1.16068450640791-π/2
    2.32136901281582-1.57079632675     		φ = 0.75057269
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01840777} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.054688°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75057269 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.004647°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4072 KachelY 3010 -0.01840777 0.75057269 -1.054688 43.004647
    Oben rechts KachelX + 1 4073 KachelY 3010 -0.01764078 0.75057269 -1.010742 43.004647
    Unten links KachelX 4072 KachelY + 1 3011 -0.01840777 0.75001164 -1.054688 42.972502
    Unten rechts KachelX + 1 4073 KachelY + 1 3011 -0.01764078 0.75001164 -1.010742 42.972502
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75057269-0.75001164) × R
    0.000561050000000063 × 6371000     		dl = 3574.4495500004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75057269-0.75001164) × R
    0.000561050000000063 × 6371000     		dr = 3574.4495500004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01840777--0.01764078) × cos(0.75057269) × R
    0.000766990000000002 × 0.731298381206282 × 6371000     		do = 3573.48463275237m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01840777--0.01764078) × cos(0.75001164) × R
    0.000766990000000002 × 0.731680934549086 × 6371000     		du = 3575.35397709505m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75057269)-sin(0.75001164))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.731298381206282-0.731680934549086)×R²
    abs(-0.01764078--0.01840777)×0.000382553342804126×R²
    0.000766990000000002×0.000382553342804126×6371000²
    0.000766990000000002×0.000382553342804126×40589641000000     		ar = 12776581.8111463m²