Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4071 / 2870
↖ ↑ ↗
← N 47.338823°
W  1.098633°		 ← 3 311.39 m → N 47.338823°
W  1.054688°		 →
↑
3 312.35 m
↓
↑
3 312.35 m
↓
N 47.309034°
W  1.098633°		 ← 3 313.26 m →
10 971 560 m²		 N 47.309034°
W  1.054688°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4071 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2870 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.49700927734375 y=0.35040283203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.49700927734375 × 213)
    floor (0.49700927734375 × 8192)
    floor (4071.5)     		tx = 4071
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.35040283203125 × 213)
    floor (0.35040283203125 × 8192)
    floor (2870.5)     		ty = 2870
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4071 / 2870 ti = "13/4071/2870"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4071/2870.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4071 ÷ 213
    4071 ÷ 8192     		x = 0.4969482421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2870 ÷ 213
    2870 ÷ 8192     		y = 0.350341796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4969482421875 × 2 - 1) × π
    -0.006103515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.01917476
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.350341796875 × 2 - 1) × π
    0.29931640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.940330222947022
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01917476} λ = -0.01917476}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.940330222947022))-π/2
    2×atan(2.56082692253231)-π/2
    2×1.19850732340957-π/2
    2.39701464681914-1.57079632675     		φ = 0.82621832
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01917476} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.098633°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82621832 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.338823°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4071 KachelY 2870 -0.01917476 0.82621832 -1.098633 47.338823
    Oben rechts KachelX + 1 4072 KachelY 2870 -0.01840777 0.82621832 -1.054688 47.338823
    Unten links KachelX 4071 KachelY + 1 2871 -0.01917476 0.82569841 -1.098633 47.309034
    Unten rechts KachelX + 1 4072 KachelY + 1 2871 -0.01840777 0.82569841 -1.054688 47.309034
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82621832-0.82569841) × R
    0.000519909999999957 × 6371000     		dl = 3312.34660999972m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82621832-0.82569841) × R
    0.000519909999999957 × 6371000     		dr = 3312.34660999972m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01917476--0.01840777) × cos(0.82621832) × R
    0.000766989999999999 × 0.677661547998942 × 6371000     		do = 3311.38860718784m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01917476--0.01840777) × cos(0.82569841) × R
    0.000766989999999999 × 0.678043784656874 × 6371000     		du = 3313.25640405201m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82621832)-sin(0.82569841))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.677661547998942-0.678043784656874)×R²
    abs(-0.01840777--0.01917476)×0.000382236657931578×R²
    0.000766989999999999×0.000382236657931578×6371000²
    0.000766989999999999×0.000382236657931578×40589641000000     		ar = 10971560.4698543m²