Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4067 / 2980
↖ ↑ ↗
← N 43.961191°
W  1.274414°		 ← 3 517.35 m → N 43.961191°
W  1.230469°		 →
↑
3 518.26 m
↓
↑
3 518.26 m
↓
N 43.929550°
W  1.274414°		 ← 3 519.22 m →
12 378 228 m²		 N 43.929550°
W  1.230469°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4067 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2980 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.49652099609375 y=0.36383056640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.49652099609375 × 213)
    floor (0.49652099609375 × 8192)
    floor (4067.5)     		tx = 4067
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.36383056640625 × 213)
    floor (0.36383056640625 × 8192)
    floor (2980.5)     		ty = 2980
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4067 / 2980 ti = "13/4067/2980"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4067/2980.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4067 ÷ 213
    4067 ÷ 8192     		x = 0.4964599609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2980 ÷ 213
    2980 ÷ 8192     		y = 0.36376953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4964599609375 × 2 - 1) × π
    -0.007080078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.02224272
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.36376953125 × 2 - 1) × π
    0.2724609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.855961279615723
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02224272} λ = -0.02224272}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.855961279615723))-π/2
    2×atan(2.35363579558782)-π/2
    2×1.16903192326168-π/2
    2.33806384652335-1.57079632675     		φ = 0.76726752
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02224272} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.274414°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76726752 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.961191°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4067 KachelY 2980 -0.02224272 0.76726752 -1.274414 43.961191
    Oben rechts KachelX + 1 4068 KachelY 2980 -0.02147573 0.76726752 -1.230469 43.961191
    Unten links KachelX 4067 KachelY + 1 2981 -0.02224272 0.76671529 -1.274414 43.929550
    Unten rechts KachelX + 1 4068 KachelY + 1 2981 -0.02147573 0.76671529 -1.230469 43.929550
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76726752-0.76671529) × R
    0.000552229999999931 × 6371000     		dl = 3518.25732999956m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76726752-0.76671529) × R
    0.000552229999999931 × 6371000     		dr = 3518.25732999956m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02224272--0.02147573) × cos(0.76726752) × R
    0.000766990000000002 × 0.719810162741409 × 6371000     		do = 3517.34753030971m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02224272--0.02147573) × cos(0.76671529) × R
    0.000766990000000002 × 0.72019339499839 × 6371000     		du = 3519.22019216196m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76726752)-sin(0.76671529))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.719810162741409-0.72019339499839)×R²
    abs(-0.02147573--0.02224272)×0.00038323225698067×R²
    0.000766990000000002×0.00038323225698067×6371000²
    0.000766990000000002×0.00038323225698067×40589641000000     		ar = 12378228.2983814m²