Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4067 / 2901
↖ ↑ ↗
← N 46.407564°
W  1.274414°		 ← 3 369.35 m → N 46.407564°
W  1.230469°		 →
↑
3 370.32 m
↓
↑
3 370.32 m
↓
N 46.377254°
W  1.274414°		 ← 3 371.23 m →
11 358 965 m²		 N 46.377254°
W  1.230469°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4067 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2901 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.49652099609375 y=0.35418701171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.49652099609375 × 213)
    floor (0.49652099609375 × 8192)
    floor (4067.5)     		tx = 4067
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.35418701171875 × 213)
    floor (0.35418701171875 × 8192)
    floor (2901.5)     		ty = 2901
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4067 / 2901 ti = "13/4067/2901"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4067/2901.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4067 ÷ 213
    4067 ÷ 8192     		x = 0.4964599609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2901 ÷ 213
    2901 ÷ 8192     		y = 0.3541259765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4964599609375 × 2 - 1) × π
    -0.007080078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.02224272
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3541259765625 × 2 - 1) × π
    0.291748046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.916553520735474
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02224272} λ = -0.02224272}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.916553520735474))-π/2
    2×atan(2.50065705848334)-π/2
    2×1.19038055790933-π/2
    2.38076111581866-1.57079632675     		φ = 0.80996479
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02224272} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.274414°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.80996479 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.407564°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4067 KachelY 2901 -0.02224272 0.80996479 -1.274414 46.407564
    Oben rechts KachelX + 1 4068 KachelY 2901 -0.02147573 0.80996479 -1.230469 46.407564
    Unten links KachelX 4067 KachelY + 1 2902 -0.02224272 0.80943578 -1.274414 46.377254
    Unten rechts KachelX + 1 4068 KachelY + 1 2902 -0.02147573 0.80943578 -1.230469 46.377254
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.80996479-0.80943578) × R
    0.000529009999999941 × 6371000     		dl = 3370.32270999962m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.80996479-0.80943578) × R
    0.000529009999999941 × 6371000     		dr = 3370.32270999962m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02224272--0.02147573) × cos(0.80996479) × R
    0.000766990000000002 × 0.689523934675751 × 6371000     		do = 3369.35408008746m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02224272--0.02147573) × cos(0.80943578) × R
    0.000766990000000002 × 0.689906980490674 × 6371000     		du = 3371.22583089185m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.80996479)-sin(0.80943578))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.689523934675751-0.689906980490674)×R²
    abs(-0.02147573--0.02224272)×0.000383045814923766×R²
    0.000766990000000002×0.000383045814923766×6371000²
    0.000766990000000002×0.000383045814923766×40589641000000     		ar = 11358965.0411708m²