Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4066 / 2978
↖ ↑ ↗
← N 44.024422°
W  1.318359°		 ← 3 513.60 m → N 44.024422°
W  1.274414°		 →
↑
3 514.56 m
↓
↑
3 514.56 m
↓
N 43.992814°
W  1.318359°		 ← 3 515.47 m →
12 352 064 m²		 N 43.992814°
W  1.274414°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4066 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2978 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.49639892578125 y=0.36358642578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.49639892578125 × 213)
    floor (0.49639892578125 × 8192)
    floor (4066.5)     		tx = 4066
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.36358642578125 × 213)
    floor (0.36358642578125 × 8192)
    floor (2978.5)     		ty = 2978
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4066 / 2978 ti = "13/4066/2978"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4066/2978.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4066 ÷ 213
    4066 ÷ 8192     		x = 0.496337890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2978 ÷ 213
    2978 ÷ 8192     		y = 0.363525390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.496337890625 × 2 - 1) × π
    -0.00732421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.02300971
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.363525390625 × 2 - 1) × π
    0.27294921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.857495260403564
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02300971} λ = -0.02300971}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.857495260403564))-π/2
    2×atan(2.35724899826305)-π/2
    2×1.16958371679059-π/2
    2.33916743358117-1.57079632675     		φ = 0.76837111
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02300971} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.318359°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76837111 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.024422°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4066 KachelY 2978 -0.02300971 0.76837111 -1.318359 44.024422
    Oben rechts KachelX + 1 4067 KachelY 2978 -0.02224272 0.76837111 -1.274414 44.024422
    Unten links KachelX 4066 KachelY + 1 2979 -0.02300971 0.76781946 -1.318359 43.992814
    Unten rechts KachelX + 1 4067 KachelY + 1 2979 -0.02224272 0.76781946 -1.274414 43.992814
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76837111-0.76781946) × R
    0.000551650000000015 × 6371000     		dl = 3514.56215000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76837111-0.76781946) × R
    0.000551650000000015 × 6371000     		dr = 3514.56215000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02300971--0.02224272) × cos(0.76837111) × R
    0.000766989999999999 × 0.719043644428608 × 6371000     		do = 3513.60194371753m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02300971--0.02224272) × cos(0.76781946) × R
    0.000766989999999999 × 0.71942691239738 × 6371000     		du = 3515.47478007521m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76837111)-sin(0.76781946))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.719043644428608-0.71942691239738)×R²
    abs(-0.02224272--0.02300971)×0.000383267968772527×R²
    0.000766989999999999×0.000383267968772527×6371000²
    0.000766989999999999×0.000383267968772527×40589641000000     		ar = 12352063.8146917m²