Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 4065 / 2977
↖ ↑ ↗
← N 44.056012°
W  1.362305°		 ← 3 511.73 m → N 44.056012°
W  1.318359°		 →
↑
3 512.65 m
↓
↑
3 512.65 m
↓
N 44.024422°
W  1.362305°		 ← 3 513.60 m →
12 338 768 m²		 N 44.024422°
W  1.318359°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4065 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2977 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.49627685546875 y=0.36346435546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.49627685546875 × 213)
    floor (0.49627685546875 × 8192)
    floor (4065.5)     		tx = 4065
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.36346435546875 × 213)
    floor (0.36346435546875 × 8192)
    floor (2977.5)     		ty = 2977
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4065 / 2977 ti = "13/4065/2977"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4065/2977.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4065 ÷ 213
    4065 ÷ 8192     		x = 0.4962158203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2977 ÷ 213
    2977 ÷ 8192     		y = 0.3634033203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4962158203125 × 2 - 1) × π
    -0.007568359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.02377670
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3634033203125 × 2 - 1) × π
    0.273193359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.858262250797485
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02377670} λ = -0.02377670}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.858262250797485))-π/2
    2×atan(2.35905767913256)-π/2
    2×1.16985939308293-π/2
    2.33971878616585-1.57079632675     		φ = 0.76892246
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02377670} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.362305°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76892246 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.056012°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4065 KachelY 2977 -0.02377670 0.76892246 -1.362305 44.056012
    Oben rechts KachelX + 1 4066 KachelY 2977 -0.02300971 0.76892246 -1.318359 44.056012
    Unten links KachelX 4065 KachelY + 1 2978 -0.02377670 0.76837111 -1.362305 44.024422
    Unten rechts KachelX + 1 4066 KachelY + 1 2978 -0.02300971 0.76837111 -1.318359 44.024422
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76892246-0.76837111) × R
    0.00055134999999995 × 6371000     		dl = 3512.65084999968m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76892246-0.76837111) × R
    0.00055134999999995 × 6371000     		dr = 3512.65084999968m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02377670--0.02300971) × cos(0.76892246) × R
    0.000766990000000002 × 0.718660366250526 × 6371000     		do = 3511.72905747215m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02377670--0.02300971) × cos(0.76837111) × R
    0.000766990000000002 × 0.719043644428608 × 6371000     		du = 3513.60194371755m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76892246)-sin(0.76837111))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.718660366250526-0.719043644428608)×R²
    abs(-0.02300971--0.02377670)×0.000383278178081703×R²
    0.000766990000000002×0.000383278178081703×6371000²
    0.000766990000000002×0.000383278178081703×40589641000000     		ar = 12338767.768996m²