Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4063 / 2980
↖ ↑ ↗
← N 43.961191°
W  1.450195°		 ← 3 517.35 m → N 43.961191°
W  1.406250°		 →
↑
3 518.26 m
↓
↑
3 518.26 m
↓
N 43.929550°
W  1.450195°		 ← 3 519.22 m →
12 378 228 m²		 N 43.929550°
W  1.406250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4063 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2980 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.49603271484375 y=0.36383056640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.49603271484375 × 213)
    floor (0.49603271484375 × 8192)
    floor (4063.5)     		tx = 4063
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.36383056640625 × 213)
    floor (0.36383056640625 × 8192)
    floor (2980.5)     		ty = 2980
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4063 / 2980 ti = "13/4063/2980"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4063/2980.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4063 ÷ 213
    4063 ÷ 8192     		x = 0.4959716796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2980 ÷ 213
    2980 ÷ 8192     		y = 0.36376953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4959716796875 × 2 - 1) × π
    -0.008056640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.02531068
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.36376953125 × 2 - 1) × π
    0.2724609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.855961279615723
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02531068} λ = -0.02531068}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.855961279615723))-π/2
    2×atan(2.35363579558782)-π/2
    2×1.16903192326168-π/2
    2.33806384652335-1.57079632675     		φ = 0.76726752
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02531068} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.450195°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76726752 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.961191°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4063 KachelY 2980 -0.02531068 0.76726752 -1.450195 43.961191
    Oben rechts KachelX + 1 4064 KachelY 2980 -0.02454369 0.76726752 -1.406250 43.961191
    Unten links KachelX 4063 KachelY + 1 2981 -0.02531068 0.76671529 -1.450195 43.929550
    Unten rechts KachelX + 1 4064 KachelY + 1 2981 -0.02454369 0.76671529 -1.406250 43.929550
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76726752-0.76671529) × R
    0.000552229999999931 × 6371000     		dl = 3518.25732999956m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76726752-0.76671529) × R
    0.000552229999999931 × 6371000     		dr = 3518.25732999956m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02531068--0.02454369) × cos(0.76726752) × R
    0.000766989999999999 × 0.719810162741409 × 6371000     		do = 3517.3475303097m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02531068--0.02454369) × cos(0.76671529) × R
    0.000766989999999999 × 0.72019339499839 × 6371000     		du = 3519.22019216195m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76726752)-sin(0.76671529))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.719810162741409-0.72019339499839)×R²
    abs(-0.02454369--0.02531068)×0.00038323225698067×R²
    0.000766989999999999×0.00038323225698067×6371000²
    0.000766989999999999×0.00038323225698067×40589641000000     		ar = 12378228.2983814m²