Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4062 / 2974
↖ ↑ ↗
← N 44.150681°
W  1.494140°		 ← 3 506.11 m → N 44.150681°
W  1.450195°		 →
↑
3 507.04 m
↓
↑
3 507.04 m
↓
N 44.119141°
W  1.494140°		 ← 3 507.98 m →
12 299 368 m²		 N 44.119141°
W  1.450195°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4062 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2974 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.49591064453125 y=0.36309814453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.49591064453125 × 213)
    floor (0.49591064453125 × 8192)
    floor (4062.5)     		tx = 4062
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.36309814453125 × 213)
    floor (0.36309814453125 × 8192)
    floor (2974.5)     		ty = 2974
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4062 / 2974 ti = "13/4062/2974"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4062/2974.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4062 ÷ 213
    4062 ÷ 8192     		x = 0.495849609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2974 ÷ 213
    2974 ÷ 8192     		y = 0.363037109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.495849609375 × 2 - 1) × π
    -0.00830078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.02607767
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.363037109375 × 2 - 1) × π
    0.27392578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.860563221979248
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02607767} λ = -0.02607767}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.860563221979248))-π/2
    2×atan(2.3644920526391)-π/2
    2×1.17068554000683-π/2
    2.34137108001365-1.57079632675     		φ = 0.77057475
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02607767} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.494140°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.77057475 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.150681°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4062 KachelY 2974 -0.02607767 0.77057475 -1.494140 44.150681
    Oben rechts KachelX + 1 4063 KachelY 2974 -0.02531068 0.77057475 -1.450195 44.150681
    Unten links KachelX 4062 KachelY + 1 2975 -0.02607767 0.77002428 -1.494140 44.119141
    Unten rechts KachelX + 1 4063 KachelY + 1 2975 -0.02531068 0.77002428 -1.450195 44.119141
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.77057475-0.77002428) × R
    0.00055046999999997 × 6371000     		dl = 3507.04436999981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.77057475-0.77002428) × R
    0.00055046999999997 × 6371000     		dr = 3507.04436999981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02607767--0.02531068) × cos(0.77057475) × R
    0.000766990000000002 × 0.717510447328143 × 6371000     		do = 3506.10998637388m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02607767--0.02531068) × cos(0.77002428) × R
    0.000766990000000002 × 0.71789376723574 × 6371000     		du = 3507.98307653028m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.77057475)-sin(0.77002428))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.717510447328143-0.71789376723574)×R²
    abs(-0.02531068--0.02607767)×0.000383319907596991×R²
    0.000766990000000002×0.000383319907596991×6371000²
    0.000766990000000002×0.000383319907596991×40589641000000     		ar = 12299368.1040321m²