Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4059 / 2905
↖ ↑ ↗
← N 46.286224°
W  1.625976°		 ← 3 376.84 m → N 46.286224°
W  1.582031°		 →
↑
3 377.78 m
↓
↑
3 377.78 m
↓
N 46.255847°
W  1.625976°		 ← 3 378.71 m →
11 409 379 m²		 N 46.255847°
W  1.582031°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4059 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2905 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.49554443359375 y=0.35467529296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.49554443359375 × 213)
    floor (0.49554443359375 × 8192)
    floor (4059.5)     		tx = 4059
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.35467529296875 × 213)
    floor (0.35467529296875 × 8192)
    floor (2905.5)     		ty = 2905
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4059 / 2905 ti = "13/4059/2905"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4059/2905.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4059 ÷ 213
    4059 ÷ 8192     		x = 0.4954833984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2905 ÷ 213
    2905 ÷ 8192     		y = 0.3546142578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4954833984375 × 2 - 1) × π
    -0.009033203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.02837864
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3546142578125 × 2 - 1) × π
    0.290771484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.91348555915979
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02837864} λ = -0.02837864}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.91348555915979))-π/2
    2×atan(2.49299689526553)-π/2
    2×1.18932166623124-π/2
    2.37864333246247-1.57079632675     		φ = 0.80784701
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02837864} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.625976°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.80784701 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.286224°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4059 KachelY 2905 -0.02837864 0.80784701 -1.625976 46.286224
    Oben rechts KachelX + 1 4060 KachelY 2905 -0.02761165 0.80784701 -1.582031 46.286224
    Unten links KachelX 4059 KachelY + 1 2906 -0.02837864 0.80731683 -1.625976 46.255847
    Unten rechts KachelX + 1 4060 KachelY + 1 2906 -0.02761165 0.80731683 -1.582031 46.255847
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.80784701-0.80731683) × R
    0.000530180000000047 × 6371000     		dl = 3377.7767800003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.80784701-0.80731683) × R
    0.000530180000000047 × 6371000     		dr = 3377.7767800003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02837864--0.02761165) × cos(0.80784701) × R
    0.000766989999999999 × 0.691056216752417 × 6371000     		do = 3376.84156617347m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02837864--0.02761165) × cos(0.80731683) × R
    0.000766989999999999 × 0.691439334251083 × 6371000     		du = 3378.71366725998m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.80784701)-sin(0.80731683))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.691056216752417-0.691439334251083)×R²
    abs(-0.02761165--0.02837864)×0.000383117498665819×R²
    0.000766989999999999×0.000383117498665819×6371000²
    0.000766989999999999×0.000383117498665819×40589641000000     		ar = 11409379.0690057m²