Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4058 / 2873
↖ ↑ ↗
← N 47.249407°
W  1.669922°		 ← 3 316.99 m → N 47.249407°
W  1.625976°		 →
↑
3 317.95 m
↓
↑
3 317.95 m
↓
N 47.219568°
W  1.669922°		 ← 3 318.86 m →
11 008 725 m²		 N 47.219568°
W  1.625976°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4058 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2873 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.49542236328125 y=0.35076904296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.49542236328125 × 213)
    floor (0.49542236328125 × 8192)
    floor (4058.5)     		tx = 4058
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.35076904296875 × 213)
    floor (0.35076904296875 × 8192)
    floor (2873.5)     		ty = 2873
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4058 / 2873 ti = "13/4058/2873"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4058/2873.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4058 ÷ 213
    4058 ÷ 8192     		x = 0.495361328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2873 ÷ 213
    2873 ÷ 8192     		y = 0.3507080078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.495361328125 × 2 - 1) × π
    -0.00927734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.02914563
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3507080078125 × 2 - 1) × π
    0.298583984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.938029251765259
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02914563} λ = -0.02914563}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.938029251765259))-π/2
    2×atan(2.55494130749415)-π/2
    2×1.19772702390328-π/2
    2.39545404780657-1.57079632675     		φ = 0.82465772
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02914563} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.669922°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82465772 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.249407°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4058 KachelY 2873 -0.02914563 0.82465772 -1.669922 47.249407
    Oben rechts KachelX + 1 4059 KachelY 2873 -0.02837864 0.82465772 -1.625976 47.249407
    Unten links KachelX 4058 KachelY + 1 2874 -0.02914563 0.82413693 -1.669922 47.219568
    Unten rechts KachelX + 1 4059 KachelY + 1 2874 -0.02837864 0.82413693 -1.625976 47.219568
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82465772-0.82413693) × R
    0.000520790000000049 × 6371000     		dl = 3317.95309000031m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82465772-0.82413693) × R
    0.000520790000000049 × 6371000     		dr = 3317.95309000031m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02914563--0.02837864) × cos(0.82465772) × R
    0.000766989999999999 × 0.678808346885465 × 6371000     		do = 3316.99243225181m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02914563--0.02837864) × cos(0.82413693) × R
    0.000766989999999999 × 0.679190678974484 × 6371000     		du = 3318.86069543935m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82465772)-sin(0.82413693))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.678808346885465-0.679190678974484)×R²
    abs(-0.02837864--0.02914563)×0.000382332089019055×R²
    0.000766989999999999×0.000382332089019055×6371000²
    0.000766989999999999×0.000382332089019055×40589641000000     		ar = 11008724.9437215m²