Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4057 / 2969
↖ ↑ ↗
← N 44.308127°
W  1.713867°		 ← 3 496.79 m → N 44.308127°
W  1.669922°		 →
↑
3 497.68 m
↓
↑
3 497.68 m
↓
N 44.276672°
W  1.713867°		 ← 3 498.66 m →
12 233 923 m²		 N 44.276672°
W  1.669922°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4057 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2969 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.49530029296875 y=0.36248779296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.49530029296875 × 213)
    floor (0.49530029296875 × 8192)
    floor (4057.5)     		tx = 4057
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.36248779296875 × 213)
    floor (0.36248779296875 × 8192)
    floor (2969.5)     		ty = 2969
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4057 / 2969 ti = "13/4057/2969"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4057/2969.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4057 ÷ 213
    4057 ÷ 8192     		x = 0.4952392578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2969 ÷ 213
    2969 ÷ 8192     		y = 0.3624267578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4952392578125 × 2 - 1) × π
    -0.009521484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.02991263
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3624267578125 × 2 - 1) × π
    0.275146484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.864398173948853
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02991263} λ = -0.02991263}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.864398173948853))-π/2
    2×atan(2.37357717546385)-π/2
    2×1.17205951140962-π/2
    2.34411902281924-1.57079632675     		φ = 0.77332270
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02991263} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.713867°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.77332270 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.308127°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4057 KachelY 2969 -0.02991263 0.77332270 -1.713867 44.308127
    Oben rechts KachelX + 1 4058 KachelY 2969 -0.02914563 0.77332270 -1.669922 44.308127
    Unten links KachelX 4057 KachelY + 1 2970 -0.02991263 0.77277370 -1.713867 44.276672
    Unten rechts KachelX + 1 4058 KachelY + 1 2970 -0.02914563 0.77277370 -1.669922 44.276672
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.77332270-0.77277370) × R
    0.000549000000000022 × 6371000     		dl = 3497.67900000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.77332270-0.77277370) × R
    0.000549000000000022 × 6371000     		dr = 3497.67900000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02991263--0.02914563) × cos(0.77332270) × R
    0.000767 × 0.715593662326088 × 6371000     		do = 3496.78921979518m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02991263--0.02914563) × cos(0.77277370) × R
    0.000767 × 0.715977040185993 × 6371000     		du = 3498.66261756015m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.77332270)-sin(0.77277370))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.715593662326088-0.715977040185993)×R²
    abs(-0.02914563--0.02991263)×0.000383377859905165×R²
    0.000767×0.000383377859905165×6371000²
    0.000767×0.000383377859905165×40589641000000     		ar = 12233922.8007933m²