Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4055 / 2841
↖ ↑ ↗
← N 48.195387°
W  1.801758°		 ← 3 257.30 m → N 48.195387°
W  1.757813°		 →
↑
3 258.19 m
↓
↑
3 258.19 m
↓
N 48.166086°
W  1.801758°		 ← 3 259.16 m →
10 615 946 m²		 N 48.166086°
W  1.757813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4055 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2841 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.49505615234375 y=0.34686279296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.49505615234375 × 213)
    floor (0.49505615234375 × 8192)
    floor (4055.5)     		tx = 4055
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.34686279296875 × 213)
    floor (0.34686279296875 × 8192)
    floor (2841.5)     		ty = 2841
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4055 / 2841 ti = "13/4055/2841"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4055/2841.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4055 ÷ 213
    4055 ÷ 8192     		x = 0.4949951171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2841 ÷ 213
    2841 ÷ 8192     		y = 0.3468017578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4949951171875 × 2 - 1) × π
    -0.010009765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.03144661
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3468017578125 × 2 - 1) × π
    0.306396484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.962572944370728
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03144661} λ = -0.03144661}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.962572944370728))-π/2
    2×atan(2.61842487535254)-π/2
    2×1.2059822606631-π/2
    2.41196452132619-1.57079632675     		φ = 0.84116819
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03144661} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.801758°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84116819 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.195387°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4055 KachelY 2841 -0.03144661 0.84116819 -1.801758 48.195387
    Oben rechts KachelX + 1 4056 KachelY 2841 -0.03067962 0.84116819 -1.757813 48.195387
    Unten links KachelX 4055 KachelY + 1 2842 -0.03144661 0.84065678 -1.801758 48.166086
    Unten rechts KachelX + 1 4056 KachelY + 1 2842 -0.03067962 0.84065678 -1.757813 48.166086
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84116819-0.84065678) × R
    0.00051140999999999 × 6371000     		dl = 3258.19310999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84116819-0.84065678) × R
    0.00051140999999999 × 6371000     		dr = 3258.19310999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03144661--0.03067962) × cos(0.84116819) × R
    0.000766989999999999 × 0.666592485960353 × 6371000     		do = 3257.29970980968m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03144661--0.03067962) × cos(0.84065678) × R
    0.000766989999999999 × 0.666973615209768 × 6371000     		du = 3259.16209532957m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84116819)-sin(0.84065678))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.666592485960353-0.666973615209768)×R²
    abs(-0.03067962--0.03144661)×0.000381129249414469×R²
    0.000766989999999999×0.000381129249414469×6371000²
    0.000766989999999999×0.000381129249414469×40589641000000     		ar = 10615945.7089127m²