Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4054 / 2982
↖ ↑ ↗
← N 43.897893°
W  1.845703°		 ← 3 521.09 m → N 43.897893°
W  1.801758°		 →
↑
3 522.08 m
↓
↑
3 522.08 m
↓
N 43.866218°
W  1.845703°		 ← 3 522.97 m →
12 404 868 m²		 N 43.866218°
W  1.801758°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4054 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2982 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.49493408203125 y=0.36407470703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.49493408203125 × 213)
    floor (0.49493408203125 × 8192)
    floor (4054.5)     		tx = 4054
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.36407470703125 × 213)
    floor (0.36407470703125 × 8192)
    floor (2982.5)     		ty = 2982
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4054 / 2982 ti = "13/4054/2982"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4054/2982.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4054 ÷ 213
    4054 ÷ 8192     		x = 0.494873046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2982 ÷ 213
    2982 ÷ 8192     		y = 0.364013671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.494873046875 × 2 - 1) × π
    -0.01025390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.03221360
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.364013671875 × 2 - 1) × π
    0.27197265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.854427298827881
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03221360} λ = -0.03221360}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.854427298827881))-π/2
    2×atan(2.35002813124714)-π/2
    2×1.16847954184546-π/2
    2.33695908369092-1.57079632675     		φ = 0.76616276
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03221360} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.845703°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76616276 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.897893°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4054 KachelY 2982 -0.03221360 0.76616276 -1.845703 43.897893
    Oben rechts KachelX + 1 4055 KachelY 2982 -0.03144661 0.76616276 -1.801758 43.897893
    Unten links KachelX 4054 KachelY + 1 2983 -0.03221360 0.76560993 -1.845703 43.866218
    Unten rechts KachelX + 1 4055 KachelY + 1 2983 -0.03144661 0.76560993 -1.801758 43.866218
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76616276-0.76560993) × R
    0.00055283000000006 × 6371000     		dl = 3522.07993000038m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76616276-0.76560993) × R
    0.00055283000000006 × 6371000     		dr = 3522.07993000038m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03221360--0.03144661) × cos(0.76616276) × R
    0.000766990000000002 × 0.720576615639288 × 6371000     		do = 3521.0927972523m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03221360--0.03144661) × cos(0.76560993) × R
    0.000766990000000002 × 0.72095982418888 × 6371000     		du = 3522.96534325855m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76616276)-sin(0.76560993))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.720576615639288-0.72095982418888)×R²
    abs(-0.03144661--0.03221360)×0.00038320854959184×R²
    0.000766990000000002×0.00038320854959184×6371000²
    0.000766990000000002×0.00038320854959184×40589641000000     		ar = 12404868.2171579m²