Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4054 / 2839
↖ ↑ ↗
← N 48.253941°
W  1.845703°		 ← 3 253.58 m → N 48.253941°
W  1.801758°		 →
↑
3 254.50 m
↓
↑
3 254.50 m
↓
N 48.224673°
W  1.845703°		 ← 3 255.44 m →
10 591 785 m²		 N 48.224673°
W  1.801758°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4054 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2839 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.49493408203125 y=0.34661865234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.49493408203125 × 213)
    floor (0.49493408203125 × 8192)
    floor (4054.5)     		tx = 4054
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.34661865234375 × 213)
    floor (0.34661865234375 × 8192)
    floor (2839.5)     		ty = 2839
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4054 / 2839 ti = "13/4054/2839"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4054/2839.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4054 ÷ 213
    4054 ÷ 8192     		x = 0.494873046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2839 ÷ 213
    2839 ÷ 8192     		y = 0.3465576171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.494873046875 × 2 - 1) × π
    -0.01025390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.03221360
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3465576171875 × 2 - 1) × π
    0.306884765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.964106925158569
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03221360} λ = -0.03221360}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.964106925158569))-π/2
    2×atan(2.62244457108552)-π/2
    2×1.20649323840699-π/2
    2.41298647681398-1.57079632675     		φ = 0.84219015
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03221360} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.845703°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84219015 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.253941°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4054 KachelY 2839 -0.03221360 0.84219015 -1.845703 48.253941
    Oben rechts KachelX + 1 4055 KachelY 2839 -0.03144661 0.84219015 -1.801758 48.253941
    Unten links KachelX 4054 KachelY + 1 2840 -0.03221360 0.84167932 -1.845703 48.224673
    Unten rechts KachelX + 1 4055 KachelY + 1 2840 -0.03144661 0.84167932 -1.801758 48.224673
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84219015-0.84167932) × R
    0.000510829999999962 × 6371000     		dl = 3254.49792999976m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84219015-0.84167932) × R
    0.000510829999999962 × 6371000     		dr = 3254.49792999976m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03221360--0.03144661) × cos(0.84219015) × R
    0.000766990000000002 × 0.665830346188068 × 6371000     		do = 3253.57551892638m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03221360--0.03144661) × cos(0.84167932) × R
    0.000766990000000002 × 0.666211391183872 × 6371000     		du = 3255.43749274156m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84219015)-sin(0.84167932))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.665830346188068-0.666211391183872)×R²
    abs(-0.03144661--0.03221360)×0.000381044995803936×R²
    0.000766990000000002×0.000381044995803936×6371000²
    0.000766990000000002×0.000381044995803936×40589641000000     		ar = 10591784.9167324m²