Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 4052 / 2876
↖ ↑ ↗
← N 47.159840°
W  1.933594°		 ← 3 322.60 m → N 47.159840°
W  1.889649°		 →
↑
3 323.50 m
↓
↑
3 323.50 m
↓
N 47.129951°
W  1.933594°		 ← 3 324.47 m →
11 045 745 m²		 N 47.129951°
W  1.889649°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4052 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2876 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.49468994140625 y=0.35113525390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.49468994140625 × 213)
    floor (0.49468994140625 × 8192)
    floor (4052.5)     		tx = 4052
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.35113525390625 × 213)
    floor (0.35113525390625 × 8192)
    floor (2876.5)     		ty = 2876
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4052 / 2876 ti = "13/4052/2876"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4052/2876.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4052 ÷ 213
    4052 ÷ 8192     		x = 0.49462890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2876 ÷ 213
    2876 ÷ 8192     		y = 0.35107421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49462890625 × 2 - 1) × π
    -0.0107421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.03374758
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.35107421875 × 2 - 1) × π
    0.2978515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.935728280583496
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03374758} λ = -0.03374758}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.935728280583496))-π/2
    2×atan(2.54906921951791)-π/2
    2×1.19694540485905-π/2
    2.3938908097181-1.57079632675     		φ = 0.82309448
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03374758} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.933594°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82309448 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.159840°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4052 KachelY 2876 -0.03374758 0.82309448 -1.933594 47.159840
    Oben rechts KachelX + 1 4053 KachelY 2876 -0.03298059 0.82309448 -1.889649 47.159840
    Unten links KachelX 4052 KachelY + 1 2877 -0.03374758 0.82257282 -1.933594 47.129951
    Unten rechts KachelX + 1 4053 KachelY + 1 2877 -0.03298059 0.82257282 -1.889649 47.129951
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82309448-0.82257282) × R
    0.000521659999999979 × 6371000     		dl = 3323.49585999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82309448-0.82257282) × R
    0.000521659999999979 × 6371000     		dr = 3323.49585999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03374758--0.03298059) × cos(0.82309448) × R
    0.000766990000000002 × 0.679955428344822 × 6371000     		do = 3322.59763810606m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03374758--0.03298059) × cos(0.82257282) × R
    0.000766990000000002 × 0.680337844802052 × 6371000     		du = 3324.4663135583m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82309448)-sin(0.82257282))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.679955428344822-0.680337844802052)×R²
    abs(-0.03298059--0.03374758)×0.000382416457229806×R²
    0.000766990000000002×0.000382416457229806×6371000²
    0.000766990000000002×0.000382416457229806×40589641000000     		ar = 11045745.0127458m²