Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4051 / 2868
↖ ↑ ↗
← N 47.398349°
W  1.977539°		 ← 3 307.65 m → N 47.398349°
W  1.933594°		 →
↑
3 308.59 m
↓
↑
3 308.59 m
↓
N 47.368594°
W  1.977539°		 ← 3 309.52 m →
10 946 751 m²		 N 47.368594°
W  1.933594°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4051 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2868 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.49456787109375 y=0.35015869140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.49456787109375 × 213)
    floor (0.49456787109375 × 8192)
    floor (4051.5)     		tx = 4051
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.35015869140625 × 213)
    floor (0.35015869140625 × 8192)
    floor (2868.5)     		ty = 2868
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4051 / 2868 ti = "13/4051/2868"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4051/2868.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4051 ÷ 213
    4051 ÷ 8192     		x = 0.4945068359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2868 ÷ 213
    2868 ÷ 8192     		y = 0.35009765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4945068359375 × 2 - 1) × π
    -0.010986328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.03451457
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.35009765625 × 2 - 1) × π
    0.2998046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.941864203734863
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03451457} λ = -0.03451457}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.941864203734863))-π/2
    2×atan(2.5647581963108)-π/2
    2×1.19902679016648-π/2
    2.39805358033296-1.57079632675     		φ = 0.82725725
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03451457} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.977539°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82725725 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.398349°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4051 KachelY 2868 -0.03451457 0.82725725 -1.977539 47.398349
    Oben rechts KachelX + 1 4052 KachelY 2868 -0.03374758 0.82725725 -1.933594 47.398349
    Unten links KachelX 4051 KachelY + 1 2869 -0.03451457 0.82673793 -1.977539 47.368594
    Unten rechts KachelX + 1 4052 KachelY + 1 2869 -0.03374758 0.82673793 -1.933594 47.368594
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82725725-0.82673793) × R
    0.000519320000000101 × 6371000     		dl = 3308.58772000064m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82725725-0.82673793) × R
    0.000519320000000101 × 6371000     		dr = 3308.58772000064m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03451457--0.03374758) × cos(0.82725725) × R
    0.000766990000000002 × 0.676897180367001 × 6371000     		do = 3307.65352988328m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03451457--0.03374758) × cos(0.82673793) × R
    0.000766990000000002 × 0.677279348882573 × 6371000     		du = 3309.52099377027m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82725725)-sin(0.82673793))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.676897180367001-0.677279348882573)×R²
    abs(-0.03374758--0.03451457)×0.000382168515572046×R²
    0.000766990000000002×0.000382168515572046×6371000²
    0.000766990000000002×0.000382168515572046×40589641000000     		ar = 10946751.4310533m²