Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4048 / 2862
↖ ↑ ↗
← N 47.576526°
W  2.109375°		 ← 3 296.45 m → N 47.576526°
W  2.065430°		 →
↑
3 297.37 m
↓
↑
3 297.37 m
↓
N 47.546872°
W  2.109375°		 ← 3 298.32 m →
10 872 716 m²		 N 47.546872°
W  2.065430°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4048 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2862 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.49420166015625 y=0.34942626953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.49420166015625 × 213)
    floor (0.49420166015625 × 8192)
    floor (4048.5)     		tx = 4048
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.34942626953125 × 213)
    floor (0.34942626953125 × 8192)
    floor (2862.5)     		ty = 2862
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4048 / 2862 ti = "13/4048/2862"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4048/2862.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4048 ÷ 213
    4048 ÷ 8192     		x = 0.494140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2862 ÷ 213
    2862 ÷ 8192     		y = 0.349365234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.494140625 × 2 - 1) × π
    -0.01171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.03681554
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.349365234375 × 2 - 1) × π
    0.30126953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.946466146098389
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03681554} λ = -0.03681554}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.946466146098389))-π/2
    2×atan(2.57658826547686)-π/2
    2×1.20058167357063-π/2
    2.40116334714126-1.57079632675     		φ = 0.83036702
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03681554} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.109375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83036702 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.576526°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4048 KachelY 2862 -0.03681554 0.83036702 -2.109375 47.576526
    Oben rechts KachelX + 1 4049 KachelY 2862 -0.03604855 0.83036702 -2.065430 47.576526
    Unten links KachelX 4048 KachelY + 1 2863 -0.03681554 0.82984946 -2.109375 47.546872
    Unten rechts KachelX + 1 4049 KachelY + 1 2863 -0.03604855 0.82984946 -2.065430 47.546872
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83036702-0.82984946) × R
    0.000517559999999917 × 6371000     		dl = 3297.37475999947m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83036702-0.82984946) × R
    0.000517559999999917 × 6371000     		dr = 3297.37475999947m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03681554--0.03604855) × cos(0.83036702) × R
    0.000766990000000002 × 0.674604879051399 × 6371000     		do = 3296.45221488593m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03681554--0.03604855) × cos(0.82984946) × R
    0.000766990000000002 × 0.674986840612339 × 6371000     		du = 3298.3186674905m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83036702)-sin(0.82984946))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.674604879051399-0.674986840612339)×R²
    abs(-0.03604855--0.03681554)×0.000381961560939725×R²
    0.000766990000000002×0.000381961560939725×6371000²
    0.000766990000000002×0.000381961560939725×40589641000000     		ar = 10872715.7704653m²