Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4047 / 3047
↖ ↑ ↗
← N 41.804078°
W  2.153320°		 ← 3 642.53 m → N 41.804078°
W  2.109375°		 →
↑
3 643.45 m
↓
↑
3 643.45 m
↓
N 41.771312°
W  2.153320°		 ← 3 644.39 m →
13 274 765 m²		 N 41.771312°
W  2.109375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4047 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3047 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.49407958984375 y=0.37200927734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.49407958984375 × 213)
    floor (0.49407958984375 × 8192)
    floor (4047.5)     		tx = 4047
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.37200927734375 × 213)
    floor (0.37200927734375 × 8192)
    floor (3047.5)     		ty = 3047
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4047 / 3047 ti = "13/4047/3047"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4047/3047.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4047 ÷ 213
    4047 ÷ 8192     		x = 0.4940185546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3047 ÷ 213
    3047 ÷ 8192     		y = 0.3719482421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4940185546875 × 2 - 1) × π
    -0.011962890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.03758253
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3719482421875 × 2 - 1) × π
    0.256103515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.804572923223022
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03758253} λ = -0.03758253}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.804572923223022))-π/2
    2×atan(2.23574146163981)-π/2
    2×1.15020756557815-π/2
    2.30041513115631-1.57079632675     		φ = 0.72961880
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03758253} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.153320°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.72961880 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 41.804078°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4047 KachelY 3047 -0.03758253 0.72961880 -2.153320 41.804078
    Oben rechts KachelX + 1 4048 KachelY 3047 -0.03681554 0.72961880 -2.109375 41.804078
    Unten links KachelX 4047 KachelY + 1 3048 -0.03758253 0.72904692 -2.153320 41.771312
    Unten rechts KachelX + 1 4048 KachelY + 1 3048 -0.03681554 0.72904692 -2.109375 41.771312
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.72961880-0.72904692) × R
    0.000571879999999969 × 6371000     		dl = 3643.4474799998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.72961880-0.72904692) × R
    0.000571879999999969 × 6371000     		dr = 3643.4474799998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03758253--0.03681554) × cos(0.72961880) × R
    0.000766990000000002 × 0.74542855890165 × 6371000     		do = 3642.53165124729m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03758253--0.03681554) × cos(0.72904692) × R
    0.000766990000000002 × 0.745809643916539 × 6371000     		du = 3644.39382061547m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.72961880)-sin(0.72904692))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.74542855890165-0.745809643916539)×R²
    abs(-0.03681554--0.03758253)×0.000381085014888871×R²
    0.000766990000000002×0.000381085014888871×6371000²
    0.000766990000000002×0.000381085014888871×40589641000000     		ar = 13274765.4854912m²