Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4039 / 2986
↖ ↑ ↗
← N 43.771094°
W  2.504883°		 ← 3 528.58 m → N 43.771094°
W  2.460937°		 →
↑
3 529.47 m
↓
↑
3 529.47 m
↓
N 43.739352°
W  2.504883°		 ← 3 530.45 m →
12 457 331 m²		 N 43.739352°
W  2.460937°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4039 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2986 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.49310302734375 y=0.36456298828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.49310302734375 × 213)
    floor (0.49310302734375 × 8192)
    floor (4039.5)     		tx = 4039
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.36456298828125 × 213)
    floor (0.36456298828125 × 8192)
    floor (2986.5)     		ty = 2986
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4039 / 2986 ti = "13/4039/2986"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4039/2986.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4039 ÷ 213
    4039 ÷ 8192     		x = 0.4930419921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2986 ÷ 213
    2986 ÷ 8192     		y = 0.364501953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4930419921875 × 2 - 1) × π
    -0.013916015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.04371845
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.364501953125 × 2 - 1) × π
    0.27099609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.851359337252197
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04371845} λ = -0.04371845}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.851359337252197))-π/2
    2×atan(2.34282938362569)-π/2
    2×1.16737301554826-π/2
    2.33474603109651-1.57079632675     		φ = 0.76394970
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04371845} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.504883°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76394970 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.771094°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4039 KachelY 2986 -0.04371845 0.76394970 -2.504883 43.771094
    Oben rechts KachelX + 1 4040 KachelY 2986 -0.04295146 0.76394970 -2.460937 43.771094
    Unten links KachelX 4039 KachelY + 1 2987 -0.04371845 0.76339571 -2.504883 43.739352
    Unten rechts KachelX + 1 4040 KachelY + 1 2987 -0.04295146 0.76339571 -2.460937 43.739352
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76394970-0.76339571) × R
    0.000553990000000004 × 6371000     		dl = 3529.47029000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76394970-0.76339571) × R
    0.000553990000000004 × 6371000     		dr = 3529.47029000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04371845--0.04295146) × cos(0.76394970) × R
    0.000766990000000002 × 0.722109331023211 × 6371000     		do = 3528.58240069132m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04371845--0.04295146) × cos(0.76339571) × R
    0.000766990000000002 × 0.722492458814021 × 6371000     		du = 3530.45455207033m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76394970)-sin(0.76339571))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.722109331023211-0.722492458814021)×R²
    abs(-0.04295146--0.04371845)×0.000383127790810844×R²
    0.000766990000000002×0.000383127790810844×6371000²
    0.000766990000000002×0.000383127790810844×40589641000000     		ar = 12457330.9189961m²