Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4038 / 2778
↖ ↑ ↗
← N 50.007739°
W  2.548828°		 ← 3 140.47 m → N 50.007739°
W  2.504883°		 →
↑
3 141.41 m
↓
↑
3 141.41 m
↓
N 49.979488°
W  2.548828°		 ← 3 142.32 m →
9 868 417 m²		 N 49.979488°
W  2.504883°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4038 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2778 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.49298095703125 y=0.33917236328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.49298095703125 × 213)
    floor (0.49298095703125 × 8192)
    floor (4038.5)     		tx = 4038
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.33917236328125 × 213)
    floor (0.33917236328125 × 8192)
    floor (2778.5)     		ty = 2778
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4038 / 2778 ti = "13/4038/2778"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4038/2778.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4038 ÷ 213
    4038 ÷ 8192     		x = 0.492919921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2778 ÷ 213
    2778 ÷ 8192     		y = 0.339111328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.492919921875 × 2 - 1) × π
    -0.01416015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.04448544
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.339111328125 × 2 - 1) × π
    0.32177734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.01089333918774
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04448544} λ = -0.04448544}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01089333918774))-π/2
    2×atan(2.74805486389403)-π/2
    2×1.22179801202988-π/2
    2.44359602405977-1.57079632675     		φ = 0.87279970
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04448544} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.548828°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87279970 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.007739°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4038 KachelY 2778 -0.04448544 0.87279970 -2.548828 50.007739
    Oben rechts KachelX + 1 4039 KachelY 2778 -0.04371845 0.87279970 -2.504883 50.007739
    Unten links KachelX 4038 KachelY + 1 2779 -0.04448544 0.87230662 -2.548828 49.979488
    Unten rechts KachelX + 1 4039 KachelY + 1 2779 -0.04371845 0.87230662 -2.504883 49.979488
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87279970-0.87230662) × R
    0.000493079999999924 × 6371000     		dl = 3141.41267999951m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87279970-0.87230662) × R
    0.000493079999999924 × 6371000     		dr = 3141.41267999951m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04448544--0.04371845) × cos(0.87279970) × R
    0.000766990000000002 × 0.642684131133747 × 6371000     		do = 3140.47169437454m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04448544--0.04371845) × cos(0.87230662) × R
    0.000766990000000002 × 0.643061816992917 × 6371000     		du = 3142.31725379111m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87279970)-sin(0.87230662))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.642684131133747-0.643061816992917)×R²
    abs(-0.04371845--0.04448544)×0.000377685859170418×R²
    0.000766990000000002×0.000377685859170418×6371000²
    0.000766990000000002×0.000377685859170418×40589641000000     		ar = 9868416.63370442m²