Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 403 / 485
↖ ↑ ↗
← S 83.111071°
E103.359375°		 ← 9 377.77 m → S 83.111071°
E104.062500°		 →
↑
9 320.90 m
↓
↑
9 320.90 m
↓
S 83.194896°
E103.359375°		 ← 9 264.20 m →
86 879 977 m²		 S 83.194896°
E104.062500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 403 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 485 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.7880859375 y=0.9482421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.7880859375 × 29)
    floor (0.7880859375 × 512)
    floor (403.5)     		tx = 403
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.9482421875 × 29)
    floor (0.9482421875 × 512)
    floor (485.5)     		ty = 485
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 403 / 485 ti = "9/403/485"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/403/485.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 403 ÷ 29
    403 ÷ 512     		x = 0.787109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 485 ÷ 29
    485 ÷ 512     		y = 0.947265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.787109375 × 2 - 1) × π
    0.57421875 × 3.1415926535     		Λ = 1.80396141
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.947265625 × 2 - 1) × π
    -0.89453125 × 3.1415926535     		Φ = -2.81025280332617
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.80396141} λ = 1.80396141}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.81025280332617))-π/2
    2×atan(0.0601897742937186)-π/2
    2×0.0601172465305099-π/2
    0.12023449306102-1.57079632675     		φ = -1.45056183
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.80396141} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 103.359375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.45056183 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -83.111071°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 403 KachelY 485 1.80396141 -1.45056183 103.359375 -83.111071
    Oben rechts KachelX + 1 404 KachelY 485 1.81623325 -1.45056183 104.062500 -83.111071
    Unten links KachelX 403 KachelY + 1 486 1.80396141 -1.45202485 103.359375 -83.194896
    Unten rechts KachelX + 1 404 KachelY + 1 486 1.81623325 -1.45202485 104.062500 -83.194896
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.45056183--1.45202485) × R
    0.00146301999999987 × 6371000     		dl = 9320.90041999918m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.45056183--1.45202485) × R
    0.00146301999999987 × 6371000     		dr = 9320.90041999918m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.80396141-1.81623325) × cos(-1.45056183) × R
    0.0122718399999999 × 0.119945014438427 × 6371000     		do = 9377.76813155716m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.80396141-1.81623325) × cos(-1.45202485) × R
    0.0122718399999999 × 0.118492428809386 × 6371000     		du = 9264.19933268582m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.45056183)-sin(-1.45202485))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.119945014438427-0.118492428809386)×R²
    abs(1.81623325-1.80396141)×0.00145258562904088×R²
    0.0122718399999999×0.00145258562904088×6371000²
    0.0122718399999999×0.00145258562904088×40589641000000     		ar = 86879976.680241m²