Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4020 / 2844
↖ ↑ ↗
← N 48.107431°
W  3.339844°		 ← 3 262.89 m → N 48.107431°
W  3.295898°		 →
↑
3 263.80 m
↓
↑
3 263.80 m
↓
N 48.078079°
W  3.339844°		 ← 3 264.75 m →
10 652 452 m²		 N 48.078079°
W  3.295898°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4020 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2844 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.49078369140625 y=0.34722900390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.49078369140625 × 213)
    floor (0.49078369140625 × 8192)
    floor (4020.5)     		tx = 4020
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.34722900390625 × 213)
    floor (0.34722900390625 × 8192)
    floor (2844.5)     		ty = 2844
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4020 / 2844 ti = "13/4020/2844"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4020/2844.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4020 ÷ 213
    4020 ÷ 8192     		x = 0.49072265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2844 ÷ 213
    2844 ÷ 8192     		y = 0.34716796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49072265625 × 2 - 1) × π
    -0.0185546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.05829127
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34716796875 × 2 - 1) × π
    0.3056640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.960271973188965
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.05829127} λ = -0.05829127}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.960271973188965))-π/2
    2×atan(2.61240688144319)-π/2
    2×1.20521469784608-π/2
    2.41042939569216-1.57079632675     		φ = 0.83963307
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.05829127} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -3.339844°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83963307 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.107431°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4020 KachelY 2844 -0.05829127 0.83963307 -3.339844 48.107431
    Oben rechts KachelX + 1 4021 KachelY 2844 -0.05752428 0.83963307 -3.295898 48.107431
    Unten links KachelX 4020 KachelY + 1 2845 -0.05829127 0.83912078 -3.339844 48.078079
    Unten rechts KachelX + 1 4021 KachelY + 1 2845 -0.05752428 0.83912078 -3.295898 48.078079
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83963307-0.83912078) × R
    0.000512289999999971 × 6371000     		dl = 3263.79958999981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83963307-0.83912078) × R
    0.000512289999999971 × 6371000     		dr = 3263.79958999981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.05829127--0.05752428) × cos(0.83963307) × R
    0.000766990000000002 × 0.667736012802383 × 6371000     		do = 3262.88754605021m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.05829127--0.05752428) × cos(0.83912078) × R
    0.000766990000000002 × 0.668117272897252 × 6371000     		du = 3264.75057094553m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83963307)-sin(0.83912078))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.667736012802383-0.668117272897252)×R²
    abs(-0.05752428--0.05829127)×0.000381260094868385×R²
    0.000766990000000002×0.000381260094868385×6371000²
    0.000766990000000002×0.000381260094868385×40589641000000     		ar = 10652451.5379266m²