Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39840 / 19359
↖ ↑ ↗
← N 59.088560°
E 38.847656°		 ← 313.77 m → N 59.088560°
E 38.853149°		 →
↑
313.77 m
↓
↑
313.77 m
↓
N 59.085739°
E 38.847656°		 ← 313.80 m →
98 456 m²		 N 59.085739°
E 38.853149°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39840 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19359 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.607917785644531 y=0.295402526855469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.607917785644531 × 216)
    floor (0.607917785644531 × 65536)
    floor (39840.5)     		tx = 39840
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.295402526855469 × 216)
    floor (0.295402526855469 × 65536)
    floor (19359.5)     		ty = 19359
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39840 / 19359 ti = "16/39840/19359"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39840/19359.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39840 ÷ 216
    39840 ÷ 65536     		x = 0.60791015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19359 ÷ 216
    19359 ÷ 65536     		y = 0.295394897460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.60791015625 × 2 - 1) × π
    0.2158203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.67801951
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.295394897460938 × 2 - 1) × π
    0.409210205078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.28557177401067
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.67801951} λ = 0.67801951}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.28557177401067))-π/2
    2×atan(3.6167353213888)-π/2
    2×1.30104312969619-π/2
    2.60208625939239-1.57079632675     		φ = 1.03128993
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.67801951} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.847656°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03128993 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.088560°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39840 KachelY 19359 0.67801951 1.03128993 38.847656 59.088560
    Oben rechts KachelX + 1 39841 KachelY 19359 0.67811538 1.03128993 38.853149 59.088560
    Unten links KachelX 39840 KachelY + 1 19360 0.67801951 1.03124068 38.847656 59.085739
    Unten rechts KachelX + 1 39841 KachelY + 1 19360 0.67811538 1.03124068 38.853149 59.085739
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03128993-1.03124068) × R
    4.92500000000007e-05 × 6371000     		dl = 313.771750000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03128993-1.03124068) × R
    4.92500000000007e-05 × 6371000     		dr = 313.771750000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.67801951-0.67811538) × cos(1.03128993) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.513712561283033 × 6371000     		do = 313.769349727045m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.67801951-0.67811538) × cos(1.03124068) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.51375481530603 × 6371000     		du = 313.795157967525m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03128993)-sin(1.03124068))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.513712561283033-0.51375481530603)×R²
    abs(0.67811538-0.67801951)×4.2254022996846e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.2254022996846e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.2254022996846e-05×40589641000000     		ar = 98456.0069283349m²