Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3983 / 2961
↖ ↑ ↗
← N 44.559163°
W  4.965820°		 ← 3 481.76 m → N 44.559163°
W  4.921875°		 →
↑
3 482.64 m
↓
↑
3 482.64 m
↓
N 44.527843°
W  4.965820°		 ← 3 483.63 m →
12 128 974 m²		 N 44.527843°
W  4.921875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3983 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2961 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.48626708984375 y=0.36151123046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.48626708984375 × 213)
    floor (0.48626708984375 × 8192)
    floor (3983.5)     		tx = 3983
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.36151123046875 × 213)
    floor (0.36151123046875 × 8192)
    floor (2961.5)     		ty = 2961
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3983 / 2961 ti = "13/3983/2961"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3983/2961.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3983 ÷ 213
    3983 ÷ 8192     		x = 0.4862060546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2961 ÷ 213
    2961 ÷ 8192     		y = 0.3614501953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4862060546875 × 2 - 1) × π
    -0.027587890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.08666991
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3614501953125 × 2 - 1) × π
    0.277099609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.87053409710022
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.08666991} λ = -0.08666991}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.87053409710022))-π/2
    2×atan(2.388186036195)-π/2
    2×1.17425022015411-π/2
    2.34850044030821-1.57079632675     		φ = 0.77770411
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.08666991} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -4.965820°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.77770411 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.559163°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3983 KachelY 2961 -0.08666991 0.77770411 -4.965820 44.559163
    Oben rechts KachelX + 1 3984 KachelY 2961 -0.08590292 0.77770411 -4.921875 44.559163
    Unten links KachelX 3983 KachelY + 1 2962 -0.08666991 0.77715747 -4.965820 44.527843
    Unten rechts KachelX + 1 3984 KachelY + 1 2962 -0.08590292 0.77715747 -4.921875 44.527843
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.77770411-0.77715747) × R
    0.000546639999999932 × 6371000     		dl = 3482.64343999956m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.77770411-0.77715747) × R
    0.000546639999999932 × 6371000     		dr = 3482.64343999956m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.08666991--0.08590292) × cos(0.77770411) × R
    0.000766990000000009 × 0.7125263151283 × 6371000     		do = 3481.75505782291m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.08666991--0.08590292) × cos(0.77715747) × R
    0.000766990000000009 × 0.712909756087121 × 6371000     		du = 3483.62873949529m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.77770411)-sin(0.77715747))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.7125263151283-0.712909756087121)×R²
    abs(-0.08590292--0.08666991)×0.000383440958820591×R²
    0.000766990000000009×0.000383440958820591×6371000²
    0.000766990000000009×0.000383440958820591×40589641000000     		ar = 12128974.396432m²