Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 39808 / 19072
↖ ↑ ↗
← N 59.888937°
E 38.671875°		 ← 306.42 m → N 59.888937°
E 38.677368°		 →
↑
306.45 m
↓
↑
306.45 m
↓
N 59.886181°
E 38.671875°		 ← 306.44 m →
93 904 m²		 N 59.886181°
E 38.677368°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39808 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19072 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.607429504394531 y=0.291023254394531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.607429504394531 × 216)
    floor (0.607429504394531 × 65536)
    floor (39808.5)     		tx = 39808
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.291023254394531 × 216)
    floor (0.291023254394531 × 65536)
    floor (19072.5)     		ty = 19072
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39808 / 19072 ti = "16/39808/19072"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39808/19072.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39808 ÷ 216
    39808 ÷ 65536     		x = 0.607421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19072 ÷ 216
    19072 ÷ 65536     		y = 0.291015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.607421875 × 2 - 1) × π
    0.21484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.67495155
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.291015625 × 2 - 1) × π
    0.41796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.31308755439258
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.67495155} λ = 0.67495155}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.31308755439258))-π/2
    2×atan(3.71763440879247)-π/2
    2×1.30802773057187-π/2
    2.61605546114375-1.57079632675     		φ = 1.04525913
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.67495155} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.671875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04525913 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.888937°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39808 KachelY 19072 0.67495155 1.04525913 38.671875 59.888937
    Oben rechts KachelX + 1 39809 KachelY 19072 0.67504742 1.04525913 38.677368 59.888937
    Unten links KachelX 39808 KachelY + 1 19073 0.67495155 1.04521103 38.671875 59.886181
    Unten rechts KachelX + 1 39809 KachelY + 1 19073 0.67504742 1.04521103 38.677368 59.886181
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04525913-1.04521103) × R
    4.81000000001064e-05 × 6371000     		dl = 306.445100000678m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04525913-1.04521103) × R
    4.81000000001064e-05 × 6371000     		dr = 306.445100000678m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.67495155-0.67504742) × cos(1.04525913) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.501677781579305 × 6371000     		do = 306.418653469364m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.67495155-0.67504742) × cos(1.04521103) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.501719390123607 × 6371000     		du = 306.444067459351m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04525913)-sin(1.04521103))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.501677781579305-0.501719390123607)×R²
    abs(0.67504742-0.67495155)×4.16085443017966e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.16085443017966e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.16085443017966e-05×40589641000000     		ar = 93904.3889192222m²