Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39778 / 19234
↖ ↑ ↗
← N 59.439490°
E 38.507080°		 ← 310.59 m → N 59.439490°
E 38.512573°		 →
↑
310.59 m
↓
↑
310.59 m
↓
N 59.436696°
E 38.507080°		 ← 310.61 m →
96 468 m²		 N 59.436696°
E 38.512573°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39778 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19234 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.606971740722656 y=0.293495178222656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.606971740722656 × 216)
    floor (0.606971740722656 × 65536)
    floor (39778.5)     		tx = 39778
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.293495178222656 × 216)
    floor (0.293495178222656 × 65536)
    floor (19234.5)     		ty = 19234
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39778 / 19234 ti = "16/39778/19234"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39778/19234.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39778 ÷ 216
    39778 ÷ 65536     		x = 0.606964111328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19234 ÷ 216
    19234 ÷ 65536     		y = 0.293487548828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.606964111328125 × 2 - 1) × π
    0.21392822265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.67207533
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.293487548828125 × 2 - 1) × π
    0.41302490234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.29755599891568
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.67207533} λ = 0.67207533}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.29755599891568))-π/2
    2×atan(3.66033985227646)-π/2
    2×1.30410556285265-π/2
    2.6082111257053-1.57079632675     		φ = 1.03741480
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.67207533} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.507080°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03741480 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.439490°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39778 KachelY 19234 0.67207533 1.03741480 38.507080 59.439490
    Oben rechts KachelX + 1 39779 KachelY 19234 0.67217121 1.03741480 38.512573 59.439490
    Unten links KachelX 39778 KachelY + 1 19235 0.67207533 1.03736605 38.507080 59.436696
    Unten rechts KachelX + 1 39779 KachelY + 1 19235 0.67217121 1.03736605 38.512573 59.436696
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03741480-1.03736605) × R
    4.87500000001528e-05 × 6371000     		dl = 310.586250000974m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03741480-1.03736605) × R
    4.87500000001528e-05 × 6371000     		dr = 310.586250000974m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.67207533-0.67217121) × cos(1.03741480) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.508448050558062 × 6371000     		do = 310.586244186663m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.67207533-0.67217121) × cos(1.03736605) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.508490028221346 × 6371000     		du = 310.611886304407m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03741480)-sin(1.03736605))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.508448050558062-0.508490028221346)×R²
    abs(0.67217121-0.67207533)×4.19776632842872e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.19776632842872e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.19776632842872e-05×40589641000000     		ar = 96467.7989476982m²