Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39777 / 19232
↖ ↑ ↗
← N 59.445075°
E 38.501587°		 ← 310.50 m → N 59.445075°
E 38.507080°		 →
↑
310.52 m
↓
↑
310.52 m
↓
N 59.442282°
E 38.501587°		 ← 310.53 m →
96 422 m²		 N 59.442282°
E 38.507080°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39777 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19232 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.606956481933594 y=0.293464660644531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.606956481933594 × 216)
    floor (0.606956481933594 × 65536)
    floor (39777.5)     		tx = 39777
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.293464660644531 × 216)
    floor (0.293464660644531 × 65536)
    floor (19232.5)     		ty = 19232
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39777 / 19232 ti = "16/39777/19232"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39777/19232.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39777 ÷ 216
    39777 ÷ 65536     		x = 0.606948852539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19232 ÷ 216
    19232 ÷ 65536     		y = 0.29345703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.606948852539062 × 2 - 1) × π
    0.213897705078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.67197946
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.29345703125 × 2 - 1) × π
    0.4130859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.29774774651416
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.67197946} λ = 0.67197946}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.29774774651416))-π/2
    2×atan(3.66104178094717)-π/2
    2×1.30415430567485-π/2
    2.60830861134971-1.57079632675     		φ = 1.03751228
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.67197946} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.501587°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03751228 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.445075°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39777 KachelY 19232 0.67197946 1.03751228 38.501587 59.445075
    Oben rechts KachelX + 1 39778 KachelY 19232 0.67207533 1.03751228 38.507080 59.445075
    Unten links KachelX 39777 KachelY + 1 19233 0.67197946 1.03746354 38.501587 59.442282
    Unten rechts KachelX + 1 39778 KachelY + 1 19233 0.67207533 1.03746354 38.507080 59.442282
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03751228-1.03746354) × R
    4.87399999999916e-05 × 6371000     		dl = 310.522539999946m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03751228-1.03746354) × R
    4.87399999999916e-05 × 6371000     		dr = 310.522539999946m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.67197946-0.67207533) × cos(1.03751228) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.508364108829362 × 6371000     		do = 310.502580379917m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.67197946-0.67207533) × cos(1.03746354) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.508406080297594 × 6371000     		du = 310.528216039401m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03751228)-sin(1.03746354))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.508364108829362-0.508406080297594)×R²
    abs(0.67207533-0.67197946)×4.19714682314831e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.19714682314831e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.19714682314831e-05×40589641000000     		ar = 96422.0301801239m²