Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39776 / 19104
↖ ↑ ↗
← N 59.800634°
E 38.496094°		 ← 307.23 m → N 59.800634°
E 38.501587°		 →
↑
307.21 m
↓
↑
307.21 m
↓
N 59.797871°
E 38.496094°		 ← 307.26 m →
94 389 m²		 N 59.797871°
E 38.501587°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39776 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19104 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.606941223144531 y=0.291511535644531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.606941223144531 × 216)
    floor (0.606941223144531 × 65536)
    floor (39776.5)     		tx = 39776
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.291511535644531 × 216)
    floor (0.291511535644531 × 65536)
    floor (19104.5)     		ty = 19104
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39776 / 19104 ti = "16/39776/19104"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39776/19104.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39776 ÷ 216
    39776 ÷ 65536     		x = 0.60693359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19104 ÷ 216
    19104 ÷ 65536     		y = 0.29150390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.60693359375 × 2 - 1) × π
    0.2138671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.67188359
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.29150390625 × 2 - 1) × π
    0.4169921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.31001959281689
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.67188359} λ = 0.67188359}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.31001959281689))-π/2
    2×atan(3.70624632730449)-π/2
    2×1.30725714470597-π/2
    2.61451428941194-1.57079632675     		φ = 1.04371796
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.67188359} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.496094°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04371796 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.800634°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39776 KachelY 19104 0.67188359 1.04371796 38.496094 59.800634
    Oben rechts KachelX + 1 39777 KachelY 19104 0.67197946 1.04371796 38.501587 59.800634
    Unten links KachelX 39776 KachelY + 1 19105 0.67188359 1.04366974 38.496094 59.797871
    Unten rechts KachelX + 1 39777 KachelY + 1 19105 0.67197946 1.04366974 38.501587 59.797871
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04371796-1.04366974) × R
    4.82200000000432e-05 × 6371000     		dl = 307.209620000275m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04371796-1.04366974) × R
    4.82200000000432e-05 × 6371000     		dr = 307.209620000275m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.67188359-0.67197946) × cos(1.04371796) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.503010381404526 × 6371000     		do = 307.232589144913m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.67188359-0.67197946) × cos(1.04366974) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.50305205641911 × 6371000     		du = 307.258043734135m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04371796)-sin(1.04366974))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.503010381404526-0.50305205641911)×R²
    abs(0.67197946-0.67188359)×4.1675014584075e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.1675014584075e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.1675014584075e-05×40589641000000     		ar = 94388.7169287726m²