Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3974 / 3970
↖ ↑ ↗
← N  5.528510°
W  5.361328°		 ← 4 863.76 m → N  5.528510°
W  5.317383°		 →
↑
4 863.94 m
↓
↑
4 863.94 m
↓
N  5.484768°
W  5.361328°		 ← 4 864.12 m →
23 657 924 m²		 N  5.484768°
W  5.317383°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3974 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3970 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.48516845703125 y=0.48468017578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.48516845703125 × 213)
    floor (0.48516845703125 × 8192)
    floor (3974.5)     		tx = 3974
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.48468017578125 × 213)
    floor (0.48468017578125 × 8192)
    floor (3970.5)     		ty = 3970
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3974 / 3970 ti = "13/3974/3970"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3974/3970.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3974 ÷ 213
    3974 ÷ 8192     		x = 0.485107421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3970 ÷ 213
    3970 ÷ 8192     		y = 0.484619140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.485107421875 × 2 - 1) × π
    -0.02978515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.09357283
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.484619140625 × 2 - 1) × π
    0.03076171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.0966407896340332
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09357283} λ = -0.09357283}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0966407896340332))-π/2
    2×atan(1.10146464503212)-π/2
    2×0.833643519098325-π/2
    1.66728703819665-1.57079632675     		φ = 0.09649071
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09357283} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.361328°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.09649071 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 5.528510°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3974 KachelY 3970 -0.09357283 0.09649071 -5.361328 5.528510
    Oben rechts KachelX + 1 3975 KachelY 3970 -0.09280584 0.09649071 -5.317383 5.528510
    Unten links KachelX 3974 KachelY + 1 3971 -0.09357283 0.09572726 -5.361328 5.484768
    Unten rechts KachelX + 1 3975 KachelY + 1 3971 -0.09280584 0.09572726 -5.317383 5.484768
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.09649071-0.09572726) × R
    0.000763449999999999 × 6371000     		dl = 4863.93994999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.09649071-0.09572726) × R
    0.000763449999999999 × 6371000     		dr = 4863.93994999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09357283--0.09280584) × cos(0.09649071) × R
    0.000766989999999995 × 0.99534838217992 × 6371000     		do = 4863.76319073451m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09357283--0.09280584) × cos(0.09572726) × R
    0.000766989999999995 × 0.995421643675772 × 6371000     		du = 4864.1211825424m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.09649071)-sin(0.09572726))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.99534838217992-0.995421643675772)×R²
    abs(-0.09280584--0.09357283)×7.32614958519617e-05×R²
    0.000766989999999995×7.32614958519617e-05×6371000²
    0.000766989999999995×7.32614958519617e-05×40589641000000     		ar = 23657923.8651776m²