Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3973 / 3973
↖ ↑ ↗
← N  5.397273°
W  5.405274°		 ← 4 864.83 m → N  5.397273°
W  5.361328°		 →
↑
4 865.02 m
↓
↑
4 865.02 m
↓
N  5.353521°
W  5.405274°		 ← 4 865.18 m →
23 668 355 m²		 N  5.353521°
W  5.361328°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3973 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3973 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.48504638671875 y=0.48504638671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.48504638671875 × 213)
    floor (0.48504638671875 × 8192)
    floor (3973.5)     		tx = 3973
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.48504638671875 × 213)
    floor (0.48504638671875 × 8192)
    floor (3973.5)     		ty = 3973
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3973 / 3973 ti = "13/3973/3973"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3973/3973.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3973 ÷ 213
    3973 ÷ 8192     		x = 0.4849853515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3973 ÷ 213
    3973 ÷ 8192     		y = 0.4849853515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4849853515625 × 2 - 1) × π
    -0.030029296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.09433982
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4849853515625 × 2 - 1) × π
    0.030029296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.0943398184522705
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09433982} λ = -0.09433982}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0943398184522705))-π/2
    2×atan(1.0989331202259)-π/2
    2×0.832498259193376-π/2
    1.66499651838675-1.57079632675     		φ = 0.09420019
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09433982} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.405274°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.09420019 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 5.397273°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3973 KachelY 3973 -0.09433982 0.09420019 -5.405274 5.397273
    Oben rechts KachelX + 1 3974 KachelY 3973 -0.09357283 0.09420019 -5.361328 5.397273
    Unten links KachelX 3973 KachelY + 1 3974 -0.09433982 0.09343657 -5.405274 5.353521
    Unten rechts KachelX + 1 3974 KachelY + 1 3974 -0.09357283 0.09343657 -5.361328 5.353521
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.09420019-0.09343657) × R
    0.000763620000000007 × 6371000     		dl = 4865.02302000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.09420019-0.09343657) × R
    0.000763620000000007 × 6371000     		dr = 4865.02302000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09433982--0.09357283) × cos(0.09420019) × R
    0.000766990000000009 × 0.99556644205343 × 6371000     		do = 4864.82873884332m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09433982--0.09357283) × cos(0.09343657) × R
    0.000766990000000009 × 0.995637978592388 × 6371000     		du = 4865.17830166093m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.09420019)-sin(0.09343657))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.99556644205343-0.995637978592388)×R²
    abs(-0.09357283--0.09433982)×7.15365389580835e-05×R²
    0.000766990000000009×7.15365389580835e-05×6371000²
    0.000766990000000009×7.15365389580835e-05×40589641000000     		ar = 23668355.2685233m²