Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3973 / 3971
↖ ↑ ↗
← N  5.484768°
W  5.405274°		 ← 4 864.12 m → N  5.484768°
W  5.361328°		 →
↑
4 864.32 m
↓
↑
4 864.32 m
↓
N  5.441022°
W  5.405274°		 ← 4 864.48 m →
23 661 518 m²		 N  5.441022°
W  5.361328°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3973 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3971 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.48504638671875 y=0.48480224609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.48504638671875 × 213)
    floor (0.48504638671875 × 8192)
    floor (3973.5)     		tx = 3973
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.48480224609375 × 213)
    floor (0.48480224609375 × 8192)
    floor (3971.5)     		ty = 3971
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3973 / 3971 ti = "13/3973/3971"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3973/3971.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3973 ÷ 213
    3973 ÷ 8192     		x = 0.4849853515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3971 ÷ 213
    3971 ÷ 8192     		y = 0.4847412109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4849853515625 × 2 - 1) × π
    -0.030029296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.09433982
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4847412109375 × 2 - 1) × π
    0.030517578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.0958737992401123
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09433982} λ = -0.09433982}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0958737992401123))-π/2
    2×atan(1.10062015612897)-π/2
    2×0.833261793708409-π/2
    1.66652358741682-1.57079632675     		φ = 0.09572726
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09433982} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.405274°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.09572726 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 5.484768°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3973 KachelY 3971 -0.09433982 0.09572726 -5.405274 5.484768
    Oben rechts KachelX + 1 3974 KachelY 3971 -0.09357283 0.09572726 -5.361328 5.484768
    Unten links KachelX 3973 KachelY + 1 3972 -0.09433982 0.09496375 -5.405274 5.441022
    Unten rechts KachelX + 1 3974 KachelY + 1 3972 -0.09357283 0.09496375 -5.361328 5.441022
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.09572726-0.09496375) × R
    0.000763509999999995 × 6371000     		dl = 4864.32220999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.09572726-0.09496375) × R
    0.000763509999999995 × 6371000     		dr = 4864.32220999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09433982--0.09357283) × cos(0.09572726) × R
    0.000766990000000009 × 0.995421643675772 × 6371000     		do = 4864.12118254249m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09433982--0.09357283) × cos(0.09496375) × R
    0.000766990000000009 × 0.995494330673539 × 6371000     		du = 4864.47636706935m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.09572726)-sin(0.09496375))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.995421643675772-0.995494330673539)×R²
    abs(-0.09357283--0.09433982)×7.26869977664135e-05×R²
    0.000766990000000009×7.26869977664135e-05×6371000²
    0.000766990000000009×7.26869977664135e-05×40589641000000     		ar = 23661517.715816m²