Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39724 / 19228
↖ ↑ ↗
← N 59.456244°
E 38.210449°		 ← 310.40 m → N 59.456244°
E 38.215942°		 →
↑
310.46 m
↓
↑
310.46 m
↓
N 59.453451°
E 38.210449°		 ← 310.43 m →
96 370 m²		 N 59.453451°
E 38.215942°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39724 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19228 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.606147766113281 y=0.293403625488281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.606147766113281 × 216)
    floor (0.606147766113281 × 65536)
    floor (39724.5)     		tx = 39724
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.293403625488281 × 216)
    floor (0.293403625488281 × 65536)
    floor (19228.5)     		ty = 19228
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39724 / 19228 ti = "16/39724/19228"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39724/19228.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39724 ÷ 216
    39724 ÷ 65536     		x = 0.60614013671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19228 ÷ 216
    19228 ÷ 65536     		y = 0.29339599609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.60614013671875 × 2 - 1) × π
    0.2122802734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.66689815
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.29339599609375 × 2 - 1) × π
    0.4132080078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.29813124171112
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.66689815} λ = 0.66689815}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.29813124171112))-π/2
    2×atan(3.66244604213253)-π/2
    2×1.30425176717659-π/2
    2.60850353435317-1.57079632675     		φ = 1.03770721
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.66689815} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.210449°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03770721 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.456244°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39724 KachelY 19228 0.66689815 1.03770721 38.210449 59.456244
    Oben rechts KachelX + 1 39725 KachelY 19228 0.66699402 1.03770721 38.215942 59.456244
    Unten links KachelX 39724 KachelY + 1 19229 0.66689815 1.03765848 38.210449 59.453451
    Unten rechts KachelX + 1 39725 KachelY + 1 19229 0.66699402 1.03765848 38.215942 59.453451
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03770721-1.03765848) × R
    4.87300000000523e-05 × 6371000     		dl = 310.458830000333m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03770721-1.03765848) × R
    4.87300000000523e-05 × 6371000     		dr = 310.458830000333m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.66689815-0.66699402) × cos(1.03770721) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.508196236718038 × 6371000     		do = 310.400046147396m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.66689815-0.66699402) × cos(1.03765848) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.508238204403417 × 6371000     		du = 310.42567949636m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03770721)-sin(1.03765848))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.508196236718038-0.508238204403417)×R²
    abs(0.66699402-0.66689815)×4.19676853785633e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.19676853785633e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.19676853785633e-05×40589641000000     		ar = 96370.4142277266m²