Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39723 / 19229
↖ ↑ ↗
← N 59.453451°
E 38.204956°		 ← 310.46 m → N 59.453451°
E 38.210449°		 →
↑
310.46 m
↓
↑
310.46 m
↓
N 59.450659°
E 38.204956°		 ← 310.48 m →
96 388 m²		 N 59.450659°
E 38.210449°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39723 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19229 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.606132507324219 y=0.293418884277344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.606132507324219 × 216)
    floor (0.606132507324219 × 65536)
    floor (39723.5)     		tx = 39723
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.293418884277344 × 216)
    floor (0.293418884277344 × 65536)
    floor (19229.5)     		ty = 19229
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39723 / 19229 ti = "16/39723/19229"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39723/19229.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39723 ÷ 216
    39723 ÷ 65536     		x = 0.606124877929688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19229 ÷ 216
    19229 ÷ 65536     		y = 0.293411254882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.606124877929688 × 2 - 1) × π
    0.212249755859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.66680227
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.293411254882812 × 2 - 1) × π
    0.413177490234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.29803536791188
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.66680227} λ = 0.66680227}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.29803536791188))-π/2
    2×atan(3.66209492634763)-π/2
    2×1.30422740481872-π/2
    2.60845480963743-1.57079632675     		φ = 1.03765848
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.66680227} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.204956°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03765848 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.453451°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39723 KachelY 19229 0.66680227 1.03765848 38.204956 59.453451
    Oben rechts KachelX + 1 39724 KachelY 19229 0.66689815 1.03765848 38.210449 59.453451
    Unten links KachelX 39723 KachelY + 1 19230 0.66680227 1.03760975 38.204956 59.450659
    Unten rechts KachelX + 1 39724 KachelY + 1 19230 0.66689815 1.03760975 38.210449 59.450659
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03765848-1.03760975) × R
    4.87299999998303e-05 × 6371000     		dl = 310.458829998919m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03765848-1.03760975) × R
    4.87299999998303e-05 × 6371000     		dr = 310.458829998919m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.66680227-0.66689815) × cos(1.03765848) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.508238204403417 × 6371000     		do = 310.458059352166m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.66680227-0.66689815) × cos(1.03760975) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.508280170881926 × 6371000     		du = 310.483694637674m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03765848)-sin(1.03760975))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.508238204403417-0.508280170881926)×R²
    abs(0.66689815-0.66680227)×4.19664785094032e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.19664785094032e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.19664785094032e-05×40589641000000     		ar = 96388.4252395797m²