Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39721 / 19241
↖ ↑ ↗
← N 59.419933°
E 38.193970°		 ← 310.73 m → N 59.419933°
E 38.199463°		 →
↑
310.71 m
↓
↑
310.71 m
↓
N 59.417139°
E 38.193970°		 ← 310.76 m →
96 553 m²		 N 59.417139°
E 38.199463°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39721 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19241 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.606101989746094 y=0.293601989746094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.606101989746094 × 216)
    floor (0.606101989746094 × 65536)
    floor (39721.5)     		tx = 39721
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.293601989746094 × 216)
    floor (0.293601989746094 × 65536)
    floor (19241.5)     		ty = 19241
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39721 / 19241 ti = "16/39721/19241"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39721/19241.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39721 ÷ 216
    39721 ÷ 65536     		x = 0.606094360351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19241 ÷ 216
    19241 ÷ 65536     		y = 0.293594360351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.606094360351562 × 2 - 1) × π
    0.212188720703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.66661053
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.293594360351562 × 2 - 1) × π
    0.412811279296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.296884882321
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.66661053} λ = 0.66661053}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.296884882321))-π/2
    2×atan(3.65788416157898)-π/2
    2×1.30393489958566-π/2
    2.60786979917133-1.57079632675     		φ = 1.03707347
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.66661053} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.193970°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03707347 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.419933°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39721 KachelY 19241 0.66661053 1.03707347 38.193970 59.419933
    Oben rechts KachelX + 1 39722 KachelY 19241 0.66670640 1.03707347 38.199463 59.419933
    Unten links KachelX 39721 KachelY + 1 19242 0.66661053 1.03702470 38.193970 59.417139
    Unten rechts KachelX + 1 39722 KachelY + 1 19242 0.66670640 1.03702470 38.199463 59.417139
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03707347-1.03702470) × R
    4.87700000000313e-05 × 6371000     		dl = 310.713670000199m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03707347-1.03702470) × R
    4.87700000000313e-05 × 6371000     		dr = 310.713670000199m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.66661053-0.66670640) × cos(1.03707347) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.508741937693462 × 6371000     		do = 310.733353629262m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.66661053-0.66670640) × cos(1.03702470) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.508783924111344 × 6371000     		du = 310.75899841981m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03707347)-sin(1.03702470))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.508741937693462-0.508783924111344)×R²
    abs(0.66670640-0.66661053)×4.19864178820006e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.19864178820006e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.19864178820006e-05×40589641000000     		ar = 96553.0848100761m²