Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39720 / 19224
↖ ↑ ↗
← N 59.467408°
E 38.188476°		 ← 310.33 m → N 59.467408°
E 38.193970°		 →
↑
310.33 m
↓
↑
310.33 m
↓
N 59.464617°
E 38.188476°		 ← 310.36 m →
96 309 m²		 N 59.464617°
E 38.193970°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39720 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19224 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.606086730957031 y=0.293342590332031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.606086730957031 × 216)
    floor (0.606086730957031 × 65536)
    floor (39720.5)     		tx = 39720
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.293342590332031 × 216)
    floor (0.293342590332031 × 65536)
    floor (19224.5)     		ty = 19224
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39720 / 19224 ti = "16/39720/19224"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39720/19224.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39720 ÷ 216
    39720 ÷ 65536     		x = 0.6060791015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19224 ÷ 216
    19224 ÷ 65536     		y = 0.2933349609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6060791015625 × 2 - 1) × π
    0.212158203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.66651465
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2933349609375 × 2 - 1) × π
    0.413330078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.29851473690808
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.66651465} λ = 0.66651465}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.29851473690808))-π/2
    2×atan(3.66385084194859)-π/2
    2×1.30434919649386-π/2
    2.60869839298773-1.57079632675     		φ = 1.03790207
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.66651465} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.188476°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03790207 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.467408°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39720 KachelY 19224 0.66651465 1.03790207 38.188476 59.467408
    Oben rechts KachelX + 1 39721 KachelY 19224 0.66661053 1.03790207 38.193970 59.467408
    Unten links KachelX 39720 KachelY + 1 19225 0.66651465 1.03785336 38.188476 59.464617
    Unten rechts KachelX + 1 39721 KachelY + 1 19225 0.66661053 1.03785336 38.193970 59.464617
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03790207-1.03785336) × R
    4.87099999999518e-05 × 6371000     		dl = 310.331409999693m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03790207-1.03785336) × R
    4.87099999999518e-05 × 6371000     		dr = 310.331409999693m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.66651465-0.66661053) × cos(1.03790207) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.508028405590247 × 6371000     		do = 310.329903436999m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.66651465-0.66661053) × cos(1.03785336) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.508070360874308 × 6371000     		du = 310.355531884361m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03790207)-sin(1.03785336))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.508028405590247-0.508070360874308)×R²
    abs(0.66661053-0.66651465)×4.19552840612569e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.19552840612569e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.19552840612569e-05×40589641000000     		ar = 96309.0931740969m²