Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39719 / 19239
↖ ↑ ↗
← N 59.425522°
E 38.182983°		 ← 310.68 m → N 59.425522°
E 38.188476°		 →
↑
310.65 m
↓
↑
310.65 m
↓
N 59.422728°
E 38.182983°		 ← 310.71 m →
96 517 m²		 N 59.422728°
E 38.188476°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39719 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19239 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.606071472167969 y=0.293571472167969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.606071472167969 × 216)
    floor (0.606071472167969 × 65536)
    floor (39719.5)     		tx = 39719
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.293571472167969 × 216)
    floor (0.293571472167969 × 65536)
    floor (19239.5)     		ty = 19239
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39719 / 19239 ti = "16/39719/19239"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39719/19239.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39719 ÷ 216
    39719 ÷ 65536     		x = 0.606063842773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19239 ÷ 216
    19239 ÷ 65536     		y = 0.293563842773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.606063842773438 × 2 - 1) × π
    0.212127685546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.66641878
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.293563842773438 × 2 - 1) × π
    0.412872314453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.29707662991948
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.66641878} λ = 0.66641878}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.29707662991948))-π/2
    2×atan(3.65858561933175)-π/2
    2×1.30398367058214-π/2
    2.60796734116428-1.57079632675     		φ = 1.03717101
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.66641878} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.182983°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03717101 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.425522°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39719 KachelY 19239 0.66641878 1.03717101 38.182983 59.425522
    Oben rechts KachelX + 1 39720 KachelY 19239 0.66651465 1.03717101 38.188476 59.425522
    Unten links KachelX 39719 KachelY + 1 19240 0.66641878 1.03712225 38.182983 59.422728
    Unten rechts KachelX + 1 39720 KachelY + 1 19240 0.66651465 1.03712225 38.188476 59.422728
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03717101-1.03712225) × R
    4.87600000000921e-05 × 6371000     		dl = 310.649960000587m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03717101-1.03712225) × R
    4.87600000000921e-05 × 6371000     		dr = 310.649960000587m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.66641878-0.66651465) × cos(1.03717101) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.50865796122765 × 6371000     		do = 310.682061830976m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.66641878-0.66651465) × cos(1.03712225) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.508699941456092 × 6371000     		du = 310.70770284109m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03717101)-sin(1.03712225))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.50865796122765-0.508699941456092)×R²
    abs(0.66651465-0.66641878)×4.19802284419291e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.19802284419291e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.19802284419291e-05×40589641000000     		ar = 96517.3527893886m²