Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39715 / 19167
↖ ↑ ↗
← N 59.626103°
E 38.161011°		 ← 308.87 m → N 59.626103°
E 38.166504°		 →
↑
308.87 m
↓
↑
308.87 m
↓
N 59.623325°
E 38.161011°		 ← 308.90 m →
95 404 m²		 N 59.623325°
E 38.166504°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39715 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19167 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.606010437011719 y=0.292472839355469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.606010437011719 × 216)
    floor (0.606010437011719 × 65536)
    floor (39715.5)     		tx = 39715
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.292472839355469 × 216)
    floor (0.292472839355469 × 65536)
    floor (19167.5)     		ty = 19167
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39715 / 19167 ti = "16/39715/19167"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39715/19167.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39715 ÷ 216
    39715 ÷ 65536     		x = 0.606002807617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19167 ÷ 216
    19167 ÷ 65536     		y = 0.292465209960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.606002807617188 × 2 - 1) × π
    0.212005615234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.66603528
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.292465209960938 × 2 - 1) × π
    0.415069580078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.30397954346477
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.66603528} λ = 0.66603528}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.30397954346477))-π/2
    2×atan(3.68392788666998)-π/2
    2×1.30573407130665-π/2
    2.61146814261331-1.57079632675     		φ = 1.04067182
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.66603528} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.161011°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04067182 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.626103°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39715 KachelY 19167 0.66603528 1.04067182 38.161011 59.626103
    Oben rechts KachelX + 1 39716 KachelY 19167 0.66613116 1.04067182 38.166504 59.626103
    Unten links KachelX 39715 KachelY + 1 19168 0.66603528 1.04062334 38.161011 59.623325
    Unten rechts KachelX + 1 39716 KachelY + 1 19168 0.66613116 1.04062334 38.166504 59.623325
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04067182-1.04062334) × R
    4.84800000000174e-05 × 6371000     		dl = 308.866080000111m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04067182-1.04062334) × R
    4.84800000000174e-05 × 6371000     		dr = 308.866080000111m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.66603528-0.66613116) × cos(1.04067182) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.505640762629159 × 6371000     		do = 308.871408200506m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.66603528-0.66613116) × cos(1.04062334) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.505682587869946 × 6371000     		du = 308.896957210742m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04067182)-sin(1.04062334))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.505640762629159-0.505682587869946)×R²
    abs(0.66613116-0.66603528)×4.18252407872188e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.18252407872188e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.18252407872188e-05×40589641000000     		ar = 95403.8467048838m²