Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39713 / 19235
↖ ↑ ↗
← N 59.436696°
E 38.150025°		 ← 310.58 m → N 59.436696°
E 38.155518°		 →
↑
310.59 m
↓
↑
310.59 m
↓
N 59.433903°
E 38.150025°		 ← 310.61 m →
96 466 m²		 N 59.433903°
E 38.155518°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39713 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19235 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.605979919433594 y=0.293510437011719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.605979919433594 × 216)
    floor (0.605979919433594 × 65536)
    floor (39713.5)     		tx = 39713
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.293510437011719 × 216)
    floor (0.293510437011719 × 65536)
    floor (19235.5)     		ty = 19235
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39713 / 19235 ti = "16/39713/19235"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39713/19235.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39713 ÷ 216
    39713 ÷ 65536     		x = 0.605972290039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19235 ÷ 216
    19235 ÷ 65536     		y = 0.293502807617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.605972290039062 × 2 - 1) × π
    0.211944580078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.66584354
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.293502807617188 × 2 - 1) × π
    0.412994384765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.29746012511644
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.66584354} λ = 0.66584354}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.29746012511644))-π/2
    2×atan(3.6599889384103)-π/2
    2×1.30408118842334-π/2
    2.60816237684668-1.57079632675     		φ = 1.03736605
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.66584354} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.150025°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03736605 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.436696°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39713 KachelY 19235 0.66584354 1.03736605 38.150025 59.436696
    Oben rechts KachelX + 1 39714 KachelY 19235 0.66593941 1.03736605 38.155518 59.436696
    Unten links KachelX 39713 KachelY + 1 19236 0.66584354 1.03731730 38.150025 59.433903
    Unten rechts KachelX + 1 39714 KachelY + 1 19236 0.66593941 1.03731730 38.155518 59.433903
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03736605-1.03731730) × R
    4.87499999999308e-05 × 6371000     		dl = 310.586249999559m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03736605-1.03731730) × R
    4.87499999999308e-05 × 6371000     		dr = 310.586249999559m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.66584354-0.66593941) × cos(1.03736605) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.508490028221346 × 6371000     		do = 310.579490404546m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.66584354-0.66593941) × cos(1.03731730) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.508532004676172 × 6371000     		du = 310.605129109782m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03736605)-sin(1.03731730))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.508490028221346-0.508532004676172)×R²
    abs(0.66593941-0.66584354)×4.19764548257318e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.19764548257318e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.19764548257318e-05×40589641000000     		ar = 96465.7007849962m²