Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39712 / 19231
↖ ↑ ↗
← N 59.447867°
E 38.144531°		 ← 310.51 m → N 59.447867°
E 38.150025°		 →
↑
310.52 m
↓
↑
310.52 m
↓
N 59.445075°
E 38.144531°		 ← 310.53 m →
96 424 m²		 N 59.445075°
E 38.150025°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39712 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19231 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.605964660644531 y=0.293449401855469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.605964660644531 × 216)
    floor (0.605964660644531 × 65536)
    floor (39712.5)     		tx = 39712
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.293449401855469 × 216)
    floor (0.293449401855469 × 65536)
    floor (19231.5)     		ty = 19231
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39712 / 19231 ti = "16/39712/19231"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39712/19231.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39712 ÷ 216
    39712 ÷ 65536     		x = 0.60595703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19231 ÷ 216
    19231 ÷ 65536     		y = 0.293441772460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.60595703125 × 2 - 1) × π
    0.2119140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.66574766
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.293441772460938 × 2 - 1) × π
    0.413116455078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.2978436203134
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.66574766} λ = 0.66574766}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.2978436203134))-π/2
    2×atan(3.66139279575818)-π/2
    2×1.30417867406796-π/2
    2.60835734813592-1.57079632675     		φ = 1.03756102
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.66574766} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.144531°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03756102 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.447867°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39712 KachelY 19231 0.66574766 1.03756102 38.144531 59.447867
    Oben rechts KachelX + 1 39713 KachelY 19231 0.66584354 1.03756102 38.150025 59.447867
    Unten links KachelX 39712 KachelY + 1 19232 0.66574766 1.03751228 38.144531 59.445075
    Unten rechts KachelX + 1 39713 KachelY + 1 19232 0.66584354 1.03751228 38.150025 59.445075
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03756102-1.03751228) × R
    4.87399999999916e-05 × 6371000     		dl = 310.522539999946m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03756102-1.03751228) × R
    4.87399999999916e-05 × 6371000     		dr = 310.522539999946m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.66574766-0.66584354) × cos(1.03756102) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.508322136153467 × 6371000     		do = 310.509329186263m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.66574766-0.66584354) × cos(1.03751228) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.508364108829362 × 6371000     		du = 310.534968257453m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03756102)-sin(1.03751228))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.508322136153467-0.508364108829362)×R²
    abs(0.66584354-0.66574766)×4.19726758948968e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.19726758948968e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.19726758948968e-05×40589641000000     		ar = 96424.1263666581m²