Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39711 / 19234
↖ ↑ ↗
← N 59.439490°
E 38.139038°		 ← 310.55 m → N 59.439490°
E 38.144531°		 →
↑
310.59 m
↓
↑
310.59 m
↓
N 59.436696°
E 38.139038°		 ← 310.58 m →
96 458 m²		 N 59.436696°
E 38.144531°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39711 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19234 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.605949401855469 y=0.293495178222656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.605949401855469 × 216)
    floor (0.605949401855469 × 65536)
    floor (39711.5)     		tx = 39711
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.293495178222656 × 216)
    floor (0.293495178222656 × 65536)
    floor (19234.5)     		ty = 19234
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39711 / 19234 ti = "16/39711/19234"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39711/19234.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39711 ÷ 216
    39711 ÷ 65536     		x = 0.605941772460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19234 ÷ 216
    19234 ÷ 65536     		y = 0.293487548828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.605941772460938 × 2 - 1) × π
    0.211883544921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.66565179
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.293487548828125 × 2 - 1) × π
    0.41302490234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.29755599891568
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.66565179} λ = 0.66565179}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.29755599891568))-π/2
    2×atan(3.66033985227646)-π/2
    2×1.30410556285265-π/2
    2.6082111257053-1.57079632675     		φ = 1.03741480
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.66565179} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.139038°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03741480 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.439490°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39711 KachelY 19234 0.66565179 1.03741480 38.139038 59.439490
    Oben rechts KachelX + 1 39712 KachelY 19234 0.66574766 1.03741480 38.144531 59.439490
    Unten links KachelX 39711 KachelY + 1 19235 0.66565179 1.03736605 38.139038 59.436696
    Unten rechts KachelX + 1 39712 KachelY + 1 19235 0.66574766 1.03736605 38.144531 59.436696
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03741480-1.03736605) × R
    4.87500000001528e-05 × 6371000     		dl = 310.586250000974m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03741480-1.03736605) × R
    4.87500000001528e-05 × 6371000     		dr = 310.586250000974m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.66565179-0.66574766) × cos(1.03741480) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.508448050558062 × 6371000     		do = 310.553850961199m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.66565179-0.66574766) × cos(1.03736605) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.508490028221346 × 6371000     		du = 310.579490404546m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03741480)-sin(1.03736605))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.508448050558062-0.508490028221346)×R²
    abs(0.66574766-0.66565179)×4.19776632842872e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.19776632842872e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.19776632842872e-05×40589641000000     		ar = 96457.7376419585m²