Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3971 / 3975
↖ ↑ ↗
← N  5.309766°
W  5.493164°		 ← 4 865.53 m → N  5.309766°
W  5.449219°		 →
↑
4 865.66 m
↓
↑
4 865.66 m
↓
N  5.266008°
W  5.493164°		 ← 4 865.87 m →
23 674 829 m²		 N  5.266008°
W  5.449219°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3971 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3975 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.48480224609375 y=0.48529052734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.48480224609375 × 213)
    floor (0.48480224609375 × 8192)
    floor (3971.5)     		tx = 3971
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.48529052734375 × 213)
    floor (0.48529052734375 × 8192)
    floor (3975.5)     		ty = 3975
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3971 / 3975 ti = "13/3971/3975"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3971/3975.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3971 ÷ 213
    3971 ÷ 8192     		x = 0.4847412109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3975 ÷ 213
    3975 ÷ 8192     		y = 0.4852294921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4847412109375 × 2 - 1) × π
    -0.030517578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.09587380
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4852294921875 × 2 - 1) × π
    0.029541015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.0928058376644287
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09587380} λ = -0.09587380}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0928058376644287))-π/2
    2×atan(1.09724867021964)-π/2
    2×0.831734614501844-π/2
    1.66346922900369-1.57079632675     		φ = 0.09267290
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09587380} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.493164°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.09267290 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 5.309766°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3971 KachelY 3975 -0.09587380 0.09267290 -5.493164 5.309766
    Oben rechts KachelX + 1 3972 KachelY 3975 -0.09510681 0.09267290 -5.449219 5.309766
    Unten links KachelX 3971 KachelY + 1 3976 -0.09587380 0.09190918 -5.493164 5.266008
    Unten rechts KachelX + 1 3972 KachelY + 1 3976 -0.09510681 0.09190918 -5.449219 5.266008
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.09267290-0.09190918) × R
    0.000763720000000009 × 6371000     		dl = 4865.66012000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.09267290-0.09190918) × R
    0.000763720000000009 × 6371000     		dr = 4865.66012000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09587380--0.09510681) × cos(0.09267290) × R
    0.000766989999999995 × 0.995708939186449 × 6371000     		do = 4865.52505012757m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09587380--0.09510681) × cos(0.09190918) × R
    0.000766989999999995 × 0.995779323680174 × 6371000     		du = 4865.86898348388m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.09267290)-sin(0.09190918))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.995708939186449-0.995779323680174)×R²
    abs(-0.09510681--0.09587380)×7.03844937250953e-05×R²
    0.000766989999999995×7.03844937250953e-05×6371000²
    0.000766989999999995×7.03844937250953e-05×40589641000000     		ar = 23674829.0814064m²