Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3970 / 3979
↖ ↑ ↗
← N  5.134715°
W  5.537109°		 ← 4 866.88 m → N  5.134715°
W  5.493164°		 →
↑
4 867.06 m
↓
↑
4 867.06 m
↓
N  5.090944°
W  5.537109°		 ← 4 867.22 m →
23 688 235 m²		 N  5.090944°
W  5.493164°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3970 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3979 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.48468017578125 y=0.48577880859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.48468017578125 × 213)
    floor (0.48468017578125 × 8192)
    floor (3970.5)     		tx = 3970
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.48577880859375 × 213)
    floor (0.48577880859375 × 8192)
    floor (3979.5)     		ty = 3979
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3970 / 3979 ti = "13/3970/3979"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3970/3979.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3970 ÷ 213
    3970 ÷ 8192     		x = 0.484619140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3979 ÷ 213
    3979 ÷ 8192     		y = 0.4857177734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.484619140625 × 2 - 1) × π
    -0.03076171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.09664079
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4857177734375 × 2 - 1) × π
    0.028564453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.0897378760887451
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09664079} λ = -0.09664079}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0897378760887451))-π/2
    2×atan(1.09388751204887)-π/2
    2×0.830207001653115-π/2
    1.66041400330623-1.57079632675     		φ = 0.08961768
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09664079} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.537109°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.08961768 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 5.134715°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3970 KachelY 3979 -0.09664079 0.08961768 -5.537109 5.134715
    Oben rechts KachelX + 1 3971 KachelY 3979 -0.09587380 0.08961768 -5.493164 5.134715
    Unten links KachelX 3970 KachelY + 1 3980 -0.09664079 0.08885374 -5.537109 5.090944
    Unten rechts KachelX + 1 3971 KachelY + 1 3980 -0.09587380 0.08885374 -5.493164 5.090944
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.08961768-0.08885374) × R
    0.000763940000000005 × 6371000     		dl = 4867.06174000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.08961768-0.08885374) × R
    0.000763940000000005 × 6371000     		dr = 4867.06174000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09664079--0.09587380) × cos(0.08961768) × R
    0.000766990000000009 × 0.995987022589588 × 6371000     		do = 4866.88390281116m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09664079--0.09587380) × cos(0.08885374) × R
    0.000766990000000009 × 0.996055102878191 × 6371000     		du = 4867.2165766846m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.08961768)-sin(0.08885374))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.995987022589588-0.996055102878191)×R²
    abs(-0.09587380--0.09664079)×6.80802886035003e-05×R²
    0.000766990000000009×6.80802886035003e-05×6371000²
    0.000766990000000009×6.80802886035003e-05×40589641000000     		ar = 23688235.1605814m²