Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39649 / 19233
↖ ↑ ↗
← N 59.442282°
E 37.798462°		 ← 310.56 m → N 59.442282°
E 37.803955°		 →
↑
310.52 m
↓
↑
310.52 m
↓
N 59.439490°
E 37.798462°		 ← 310.59 m →
96 440 m²		 N 59.439490°
E 37.803955°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39649 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19233 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.605003356933594 y=0.293479919433594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.605003356933594 × 216)
    floor (0.605003356933594 × 65536)
    floor (39649.5)     		tx = 39649
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.293479919433594 × 216)
    floor (0.293479919433594 × 65536)
    floor (19233.5)     		ty = 19233
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39649 / 19233 ti = "16/39649/19233"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39649/19233.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39649 ÷ 216
    39649 ÷ 65536     		x = 0.604995727539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19233 ÷ 216
    19233 ÷ 65536     		y = 0.293472290039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.604995727539062 × 2 - 1) × π
    0.209991455078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.65970761
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.293472290039062 × 2 - 1) × π
    0.413055419921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.29765187271492
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.65970761} λ = 0.65970761}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.29765187271492))-π/2
    2×atan(3.66069079978767)-π/2
    2×1.30412993526979-π/2
    2.60825987053957-1.57079632675     		φ = 1.03746354
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.65970761} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 37.798462°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03746354 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.442282°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39649 KachelY 19233 0.65970761 1.03746354 37.798462 59.442282
    Oben rechts KachelX + 1 39650 KachelY 19233 0.65980349 1.03746354 37.803955 59.442282
    Unten links KachelX 39649 KachelY + 1 19234 0.65970761 1.03741480 37.798462 59.439490
    Unten rechts KachelX + 1 39650 KachelY + 1 19234 0.65980349 1.03741480 37.803955 59.439490
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03746354-1.03741480) × R
    4.87399999999916e-05 × 6371000     		dl = 310.522539999946m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03746354-1.03741480) × R
    4.87399999999916e-05 × 6371000     		dr = 310.522539999946m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.65970761-0.65980349) × cos(1.03746354) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.508406080297594 × 6371000     		do = 310.56060659094m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.65970761-0.65980349) × cos(1.03741480) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.508448050558062 × 6371000     		du = 310.586244186663m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03746354)-sin(1.03741480))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.508406080297594-0.508448050558062)×R²
    abs(0.65980349-0.65970761)×4.19702604682604e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.19702604682604e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.19702604682604e-05×40589641000000     		ar = 96440.0489273626m²