Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39616 / 19136
↖ ↑ ↗
← N 59.712097°
E 37.617188°		 ← 308.05 m → N 59.712097°
E 37.622681°		 →
↑
308.10 m
↓
↑
308.10 m
↓
N 59.709326°
E 37.617188°		 ← 308.07 m →
94 914 m²		 N 59.709326°
E 37.622681°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39616 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19136 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.604499816894531 y=0.291999816894531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.604499816894531 × 216)
    floor (0.604499816894531 × 65536)
    floor (39616.5)     		tx = 39616
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.291999816894531 × 216)
    floor (0.291999816894531 × 65536)
    floor (19136.5)     		ty = 19136
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39616 / 19136 ti = "16/39616/19136"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39616/19136.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39616 ÷ 216
    39616 ÷ 65536     		x = 0.6044921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19136 ÷ 216
    19136 ÷ 65536     		y = 0.2919921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6044921875 × 2 - 1) × π
    0.208984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.65654378
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2919921875 × 2 - 1) × π
    0.416015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.30695163124121
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.65654378} λ = 0.65654378}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.30695163124121))-π/2
    2×atan(3.69489313047317)-π/2
    2×1.30648451286067-π/2
    2.61296902572134-1.57079632675     		φ = 1.04217270
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.65654378} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 37.617188°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04217270 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.712097°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39616 KachelY 19136 0.65654378 1.04217270 37.617188 59.712097
    Oben rechts KachelX + 1 39617 KachelY 19136 0.65663965 1.04217270 37.622681 59.712097
    Unten links KachelX 39616 KachelY + 1 19137 0.65654378 1.04212434 37.617188 59.709326
    Unten rechts KachelX + 1 39617 KachelY + 1 19137 0.65663965 1.04212434 37.622681 59.709326
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04217270-1.04212434) × R
    4.83600000000806e-05 × 6371000     		dl = 308.101560000513m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04217270-1.04212434) × R
    4.83600000000806e-05 × 6371000     		dr = 308.101560000513m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.65654378-0.65663965) × cos(1.04217270) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.504345318204851 × 6371000     		do = 308.047952216274m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.65654378-0.65663965) × cos(1.04212434) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.504387076574489 × 6371000     		du = 308.073457717745m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04217270)-sin(1.04212434))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.504345318204851-0.504387076574489)×R²
    abs(0.65663965-0.65654378)×4.17583696384893e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.17583696384893e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.17583696384893e-05×40589641000000     		ar = 94913.9837935443m²