Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39588 / 19108
↖ ↑ ↗
← N 59.789580°
E 37.463379°		 ← 307.33 m → N 59.789580°
E 37.468872°		 →
↑
307.34 m
↓
↑
307.34 m
↓
N 59.786816°
E 37.463379°		 ← 307.36 m →
94 459 m²		 N 59.786816°
E 37.468872°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39588 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19108 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.604072570800781 y=0.291572570800781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.604072570800781 × 216)
    floor (0.604072570800781 × 65536)
    floor (39588.5)     		tx = 39588
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.291572570800781 × 216)
    floor (0.291572570800781 × 65536)
    floor (19108.5)     		ty = 19108
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39588 / 19108 ti = "16/39588/19108"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39588/19108.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39588 ÷ 216
    39588 ÷ 65536     		x = 0.60406494140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19108 ÷ 216
    19108 ÷ 65536     		y = 0.29156494140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.60406494140625 × 2 - 1) × π
    0.2081298828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.65385931
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.29156494140625 × 2 - 1) × π
    0.4168701171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.30963609761993
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.65385931} λ = 0.65385931}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.30963609761993))-π/2
    2×atan(3.70482527214054)-π/2
    2×1.30716067768837-π/2
    2.61432135537674-1.57079632675     		φ = 1.04352503
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.65385931} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 37.463379°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04352503 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.789580°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39588 KachelY 19108 0.65385931 1.04352503 37.463379 59.789580
    Oben rechts KachelX + 1 39589 KachelY 19108 0.65395518 1.04352503 37.468872 59.789580
    Unten links KachelX 39588 KachelY + 1 19109 0.65385931 1.04347679 37.463379 59.786816
    Unten rechts KachelX + 1 39589 KachelY + 1 19109 0.65395518 1.04347679 37.468872 59.786816
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04352503-1.04347679) × R
    4.82400000001437e-05 × 6371000     		dl = 307.337040000916m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04352503-1.04347679) × R
    4.82400000001437e-05 × 6371000     		dr = 307.337040000916m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.65385931-0.65395518) × cos(1.04352503) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.503177117653555 × 6371000     		do = 307.334429606636m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.65385931-0.65395518) × cos(1.04347679) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.503218805270803 × 6371000     		du = 307.359891893411m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04352503)-sin(1.04347679))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.503177117653555-0.503218805270803)×R²
    abs(0.65395518-0.65385931)×4.16876172473213e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.16876172473213e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.16876172473213e-05×40589641000000     		ar = 94459.1666557378m²