Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39423 / 18955
↖ ↑ ↗
← N 60.209804°
E 36.557007°		 ← 303.49 m → N 60.209804°
E 36.562500°		 →
↑
303.51 m
↓
↑
303.51 m
↓
N 60.207075°
E 36.557007°		 ← 303.51 m →
92 116 m²		 N 60.207075°
E 36.562500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39423 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18955 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.601554870605469 y=0.289237976074219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.601554870605469 × 216)
    floor (0.601554870605469 × 65536)
    floor (39423.5)     		tx = 39423
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.289237976074219 × 216)
    floor (0.289237976074219 × 65536)
    floor (18955.5)     		ty = 18955
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39423 / 18955 ti = "16/39423/18955"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39423/18955.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39423 ÷ 216
    39423 ÷ 65536     		x = 0.601547241210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18955 ÷ 216
    18955 ÷ 65536     		y = 0.289230346679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.601547241210938 × 2 - 1) × π
    0.203094482421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.63804013
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.289230346679688 × 2 - 1) × π
    0.421539306640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.32430478890367
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.63804013} λ = 0.63804013}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.32430478890367))-π/2
    2×atan(3.75957075095085)-π/2
    2×1.31082782710284-π/2
    2.62165565420568-1.57079632675     		φ = 1.05085933
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.63804013} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 36.557007°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.05085933 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.209804°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39423 KachelY 18955 0.63804013 1.05085933 36.557007 60.209804
    Oben rechts KachelX + 1 39424 KachelY 18955 0.63813601 1.05085933 36.562500 60.209804
    Unten links KachelX 39423 KachelY + 1 18956 0.63804013 1.05081169 36.557007 60.207075
    Unten rechts KachelX + 1 39424 KachelY + 1 18956 0.63813601 1.05081169 36.562500 60.207075
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.05085933-1.05081169) × R
    4.76400000000154e-05 × 6371000     		dl = 303.514440000098m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.05085933-1.05081169) × R
    4.76400000000154e-05 × 6371000     		dr = 303.514440000098m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.63804013-0.63813601) × cos(1.05085933) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.496825461467844 × 6371000     		do = 303.486568439117m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.63804013-0.63813601) × cos(1.05081169) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.496866805301048 × 6371000     		du = 303.511823380818m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.05085933)-sin(1.05081169))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.496825461467844-0.496866805301048)×R²
    abs(0.63813601-0.63804013)×4.13438332043659e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.13438332043659e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.13438332043659e-05×40589641000000     		ar = 92116.3885046316m²